Exercice 11.11
Trouver l’aire de la boucle du folium de Descartes paramétrée par
x(t) =
3t
1 + t 3 , y(t) =
3t
2
1 + t 3 pour t variant de 0 à +∞.
Lorsque t tend vers +∞, x(t) et y(t) tendent vers 0, et, en utilisant la formule (3),
l’aire A T =
1
2
T
0
(x(t)y
(t) − y(t)x
(t)) dt
du domaine limité par la courbe et
la droite joignant O à M(T ) a pour limite, lorsque T tend vers l’infini, l’aire de la
boucle du folium de Descartes. On a x
(t) = 3
1 − 2t
3
(1 + t 3 ) 2 et y
(t) = 3t
2 − t
3
(1 + t 3 ) 2 , Donc
x(t)y
(t) − y(t)x
(t) =
9t
2
(1 + t 3 ) 2 . Alors
A =
1
2
∞
0
9t
2 dt
(1 + t 3 ) 2
=
−
3
2(1 + t 3 )
∞
0
=
3
2
.
Exercice 11.12
Trouver l’aire du domaine limité par la courbe paramétrée par x(t) = cos t cos 2t,
y = sin t.
On effectue une étude succinte de la courbe. Elle présente des symétries par rapport
à O, Ox et Oy. Les fonctions x et y sont de période 2p. La courbe a deux points
doubles sur Oy, le premier obtenu pour t = p/4 et t = 3p/4 et le second pour
t = −p/4 et t = −3p/4. La courbe est formée de trois boucles.
6
-
1
t = 0
t = p/4
t = 3p/4
t = p/2