est la valeur absolue d’une des intégrales suivantes
(1)
b
a
y(t)x
(t) dt ; (2)
b
a
y
(t)x(t) dt ; (3)
1
2
b
a
(x(t)y
(t) − y(t)x
(t)) dt
et, en coordonnées polaires, si f (u) = (r(u) cos u, r(u) sin u) , alors l’aire A est
l’intégrale (4)
1
2
b
a
r
2 (u)du .
Quand t décrit [ a, b [ , une telle courbe est parcourue une fois et une seule et n’a
pas de point double.
Plus généralement, si f (a) = f (b) et
– si l’on complète l’arc de courbe par deux segments de droites parallèles à Oy
passant par M(a) et M(b), et un morceau de l’axe Ox pour obtenir une courbe
fermée C, alors, si C est parcourue une fois et une seule et n’a pas de point double,
l’aire limitée par C est donnée par la formule (1),
– si l’on complète l’arc de courbe par deux segments de droite parallèles à Ox
passant par M(a) et M(b), et un morceau de l’axe Oy pour obtenir une courbe
fermée C, alors, si C est parcourue une fois et une seule et n’a pas de point double,
l’aire limitée par C est donnée par la formule (2),
– si l’on complète l’arc de courbe par deux segments de droite joignant M(a) et
M(b) à l’origine pour obtenir une courbe fermée C, alors, si C est parcourue une
fois et une seule et n’a pas de point double, l’aire limitée par C est donnée par la
formule (3), ou, en coordonnées polaires, par la formule (4).
Remarque
Ces formules sont des applications de la formule de Green-Riemann. Elles se
généralisent dans le cas où le domaine est non borné. Les intégrales sont alors
généralisées et l’aire peut être infinie.
Exercice 11.10
Trouver l’aire du domaine limité par la courbe paramétrée par x = t(t
2
− 1),
y = t
2 (t
2
− 1), pour t ∈ [ 0, 1 ] .
La courbe est fermée, puisque f (0) = f (1) = (0, 0) et on peut montrer qu’elle n’a
pas de point double.
En utilisant la formule (1) par exemple, y(t)x
(t) = t
2 (t
2
−1)(3t
2
−1) = 3t
6
−4t
4 +t
2 ,
d’où A =
1
0
(3t
6
− 4t
4 + t
2 )dt
=
4
105
.
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