Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
11.1.3 Changement de paramètre
Ce qu’il faut savoir
Rappelons que si u est une bijection de classe C
k de l’intervalle I sur l’intervalle
J telle que u
ne s’annule pas, alors u
−1 est une application de classe C
k de J
sur I .
Si f est un paramétrage de classe C
k de I dans R
2 dont la courbe image est
C = f (I ), alors g = f ◦ u
−1 est une application de classe C
k de J dans R
2
avec C = g(J ). On dit que l’on a effectué un changement de paramètre ou un
reparamétrage de la courbe C.
On dit que l’arc g a même orientation que f lorsque u
> 0.
Un tel reparamétrage u qui conserve l’image C et le caractère C
k de l’arc est dit
admissible et les deux arcs f et g de classe C
k seront dit C
k -équivalents.
Exercice 11.9
Soit f l’application de I =
−p/2, p/2
dans R
2 définie par
f (t) =
1
cos 2 t
, 1 − tan t
. Soit g l’application de J = ] −∞, ∞ [ dans R
2
définie par g(t) = (1 + t
2 , 1 − t). Montrer que, pour tout entier k 1, les arcs f
et g sont C
k
−équivalents. Déterminer f (I ).
• Pour tout t ∈ I , on a 1 + tan
2 t =
1
cos 2 t
. En considérant l’application u de I dans
R définie par u(t) = tan t on obtient, pour tout t ∈ I , la relation f (t) = g ◦ u(t).
L’application u est une bijection indéfiniment dérivable de I sur J telle que u
(t) > 0
et f (I ) = g(J ). Pour tout entier k 1, les arcs f et g sont donc C
k
−équivalents et
ont même orientation.
• Déterminons la courbe C = f (I ).
En éliminant t dans la définition de g, on obtient facilement x(t)−1 = t
2 = (1−y(t))
2
d’où x(t) = y(t)
2
− 2y(t) + 2. Il en résulte que C est inclus dans la parabole d’équation x = y
2
− 2y + 2, et puisque y(t) prend toutes les valeurs réelles lorsque t décrit
J , la parabole est décrite complètement.
Remarquons que si, pour t réel, on pose h(t) = (t
2
− 2t + 2, t), on obtient alors un
arc paramétré h qui n’a pas la même orientation que les deux précédents, car, en
posant c(t) = 1 − t, on a h ◦ c = g, avec c
< 0.
11.1.4 Aire d’un domaine limité par une courbe
Ce qu’il faut savoir
Soit f une application de classe C
1 par morceaux d’un intervalle I = [ a, b ]
(a < b) dans R
2 telle que f (a) = f (b) (courbe fermée). Si la restriction de f à
[ a, b [ est injective, alors l’aire géométrique A du domaine limité par la courbe
11.1.3 Changement de paramètre
Ce qu’il faut savoir
Rappelons que si u est une bijection de classe C
k de l’intervalle I sur l’intervalle
J telle que u
ne s’annule pas, alors u
−1 est une application de classe C
k de J
sur I .
Si f est un paramétrage de classe C
k de I dans R
2 dont la courbe image est
C = f (I ), alors g = f ◦ u
−1 est une application de classe C
k de J dans R
2
avec C = g(J ). On dit que l’on a effectué un changement de paramètre ou un
reparamétrage de la courbe C.
On dit que l’arc g a même orientation que f lorsque u
> 0.
Un tel reparamétrage u qui conserve l’image C et le caractère C
k de l’arc est dit
admissible et les deux arcs f et g de classe C
k seront dit C
k -équivalents.
Exercice 11.9
Soit f l’application de I =
−p/2, p/2
dans R
2 définie par
f (t) =
1
cos 2 t
, 1 − tan t
. Soit g l’application de J = ] −∞, ∞ [ dans R
2
définie par g(t) = (1 + t
2 , 1 − t). Montrer que, pour tout entier k 1, les arcs f
et g sont C
k
−équivalents. Déterminer f (I ).
• Pour tout t ∈ I , on a 1 + tan
2 t =
1
cos 2 t
. En considérant l’application u de I dans
R définie par u(t) = tan t on obtient, pour tout t ∈ I , la relation f (t) = g ◦ u(t).
L’application u est une bijection indéfiniment dérivable de I sur J telle que u
(t) > 0
et f (I ) = g(J ). Pour tout entier k 1, les arcs f et g sont donc C
k
−équivalents et
ont même orientation.
• Déterminons la courbe C = f (I ).
En éliminant t dans la définition de g, on obtient facilement x(t)−1 = t
2 = (1−y(t))
2
d’où x(t) = y(t)
2
− 2y(t) + 2. Il en résulte que C est inclus dans la parabole d’équation x = y
2
− 2y + 2, et puisque y(t) prend toutes les valeurs réelles lorsque t décrit
J , la parabole est décrite complètement.
Remarquons que si, pour t réel, on pose h(t) = (t
2
− 2t + 2, t), on obtient alors un
arc paramétré h qui n’a pas la même orientation que les deux précédents, car, en
posant c(t) = 1 − t, on a h ◦ c = g, avec c
< 0.
11.1.4 Aire d’un domaine limité par une courbe
Ce qu’il faut savoir
Soit f une application de classe C
1 par morceaux d’un intervalle I = [ a, b ]
(a < b) dans R
2 telle que f (a) = f (b) (courbe fermée). Si la restriction de f à
[ a, b [ est injective, alors l’aire géométrique A du domaine limité par la courbe