11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
Le vecteur
− −− →
O M
(u) est un vecteur directeur de la tangente T u à la courbe au
point M(u). En simplifiant par e
ku on peut donc prendre comme vecteur directeur
→
V (u) = (k cos u − sin u) ı + (k sin u + cos u) j .
Soit Q le point de la tangente de coordonnées (X , Y ). On écrit que le déterminant, dans la base ( ı, , j), des vecteurs
→
V (u) et
− −−−→
M(u)Q est nul, ce qui donne
k cos u − sin u X − e
ku cos u
k sin u + cos u Y − e
ku sin u
= 0 . On obtient pour équation de T u :
Y (k cos u − sin u) − X (k sin u + cos u) + e
ku = 0 .
2) Un vecteur orthogonal à
→
V (u) est
→
W (u) = −(k sin u + cos u) ı + (k cos u − sin u) j.
C’est donc un vecteur directeur de la normale à la courbe. Soit R le point de la normale de coordonnées (X , Y ). On écrit que le déterminant, dans la base ( ı, , j), des vecteurs
→
W (u) et
− −−− →
M(u)R est nul, ce qui donne
−(k sin u + cos u) X − e
ku cos u
k cos u − sin u
Y − e
ku sin u
= 0 .
On obtient pour équation de N u :
X (k cos u − sin u) + Y (k sin u + cos u) − ke
ku = 0 .
On aurait pu également écrire que le produit scalaire des vecteurs
→
V (u) et
− −−− →
M(u)R
est nul.
3) La droite orthogonale à T u passant par O est donc la parallèle à N u passant par O
et a pour équation X (k cos u − sin u) + Y (k sin u + cos u) = 0. Les coordonnées du
point P(u) sont alors les solutions du système
X (k sin u + cos u) − Y (k cos u − sin u) = e
ku
X (k cos u − sin u) + Y (k sin u + cos u) = 0
.
D’où l’on tire
X =
1
k 2 + 1
(k sin u + cos u)e
ku et Y =
1
k 2 + 1
(sin u − k cos u)e
ku .
Soit a un angle tel que sin a =
k
√
k 2 + 1
et cos a =
1
√
k 2 + 1
. Alors
X =
1
√
k 2 + 1
(sin a sin u + cos a cos u)e
ku =
1
√
k 2 + 1
cos(u − a)e
ku
Y =
1
√
k 2 + 1
(cos a sin u − sin a cos u)e
ku =
1
√
k 2 + 1
sin(u − a)e
ku .
En posant u = u − a, on obtient comme nouveau paramétrage de g
X =
e
ka
√
k 2 + 1
e
ku cos u et Y =
e
ka
√
k 2 + 1
e
ku sin u.
Conclusion : la courbe g s’obtient à partir de G par une homothétie de centre O et de
rapport
e
ka
√
k 2 + 1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit