Chap. 11. Étude affine et métrique des courbes
La courbe G est, à une homothétie près, la courbe F tracée dans l’exercice 11.29.
Remarquons tout d’abord que
− −− →
O M
(u)
2 = r(u)
2 + r
(u)
2 = cos
2 2u + 4 sin
2 2u
n’est jamais nul. La courbe n’a donc pas de point singulier.
L’énoncé de l’exercice ne précisant pas dans quel repère on cherche l’équation de
la tangente, on va la donner, tout d’abord dans le repère mobile (O, u(u), v(u)), puis
dans le repère (O,, ı, , j).
Rappelons que u(u) = cos u ı + sin u j et v(u) = − sin u ı + cos u j.
• Dans le repère (O, u(u), v(u)), on a
− − →
O M(u) = r(u) u(u), donc en dérivant on
obtient
− −− →
O M
(u) = r
(u) u(u) + r(u) v(u). Soit P un point de la tangente à la courbe
en M(u) de coordonnées (X u , Y u ) dans (O, u(u), v(u)). Les vecteurs
− −− →
O M
(u) et
− −−− →
M(u)P sont colinéaires, et donc
r
(u) X u − r(u)
r(u)
Y u
= 0 , ce qui donne l’équation
Y u r
(u) − X u r(u) + r(u)
2 = 0 , et puisque r(u) = cos 2u et r
(u) = −2 sin 2u, on
obtient comme équation (1) 2Y u sin 2u + X u cos 2u = cos
2 2u .
• Le point P de la tangente a pour coordonnées (X , Y ) dans le repère(O,, ı, , j). On a
donc X ı + Y j = X u u(u) + Y u v(u) = X u (cos u ı + sin u j) + Y u (− sin u ı + cos u j).
On en déduit X = X u cos u − Y u sin u et Y = X u sin u + Y u cos u, d’où l’on tire
X u = X cos u + Y sin u et Y u = −X sin u + Y cos u. En remplaçant X u et Y u par leur
valeur dans l’équation (1), on obtient
(2) Y (2 cos u sin 2u + sin u cos 2u) + X (cos u cos 2u − 2 sin u sin 2u) = cos
2 2u .
Bien sûr, on aurait pu obtenir directement cette équation, en partant du paramétrage
x(u) = r(u) cos u, y(u) = r(u) sin u de la courbe G.
Exercice 11.8
Podaire d’une spirale logarithmique par rapport à O, d’après CCP PC 2007
Soit k ∈ R
∗ et soit G la courbe d’équation polaire r = e
ku .
1) Déterminer un vecteur directeur de la tangente T u à la courbe en un point
M(u) et en donner une équation cartésienne.
2) Déterminer un vecteur normal à la courbe en un point M(u), puis trouver une
équation cartésienne de la normale N u .
3) Question de la rédaction : Déterminer la projection P(u) de l’origine O sur
T u . Le point P(u) décrit une courbe g. Par quelle transformation géométrique
simple obtient-on g à partir de G ?
1) Remarquons tout d’abord que r ne s’annule pas. La courbe G n’a donc pas de
point singulier.
La courbe admet comme paramétrage x(u) = e
ku cos u, y(u) = e
ku sin u. On a donc
x
(u) = e
ku (k cos u − sin u) et y
(u) = e
ku (k sin u + cos u).
La courbe G est, à une homothétie près, la courbe F tracée dans l’exercice 11.29.
Remarquons tout d’abord que
− −− →
O M
(u)
2 = r(u)
2 + r
(u)
2 = cos
2 2u + 4 sin
2 2u
n’est jamais nul. La courbe n’a donc pas de point singulier.
L’énoncé de l’exercice ne précisant pas dans quel repère on cherche l’équation de
la tangente, on va la donner, tout d’abord dans le repère mobile (O, u(u), v(u)), puis
dans le repère (O,, ı, , j).
Rappelons que u(u) = cos u ı + sin u j et v(u) = − sin u ı + cos u j.
• Dans le repère (O, u(u), v(u)), on a
− − →
O M(u) = r(u) u(u), donc en dérivant on
obtient
− −− →
O M
(u) = r
(u) u(u) + r(u) v(u). Soit P un point de la tangente à la courbe
en M(u) de coordonnées (X u , Y u ) dans (O, u(u), v(u)). Les vecteurs
− −− →
O M
(u) et
− −−− →
M(u)P sont colinéaires, et donc
r
(u) X u − r(u)
r(u)
Y u
= 0 , ce qui donne l’équation
Y u r
(u) − X u r(u) + r(u)
2 = 0 , et puisque r(u) = cos 2u et r
(u) = −2 sin 2u, on
obtient comme équation (1) 2Y u sin 2u + X u cos 2u = cos
2 2u .
• Le point P de la tangente a pour coordonnées (X , Y ) dans le repère(O,, ı, , j). On a
donc X ı + Y j = X u u(u) + Y u v(u) = X u (cos u ı + sin u j) + Y u (− sin u ı + cos u j).
On en déduit X = X u cos u − Y u sin u et Y = X u sin u + Y u cos u, d’où l’on tire
X u = X cos u + Y sin u et Y u = −X sin u + Y cos u. En remplaçant X u et Y u par leur
valeur dans l’équation (1), on obtient
(2) Y (2 cos u sin 2u + sin u cos 2u) + X (cos u cos 2u − 2 sin u sin 2u) = cos
2 2u .
Bien sûr, on aurait pu obtenir directement cette équation, en partant du paramétrage
x(u) = r(u) cos u, y(u) = r(u) sin u de la courbe G.
Exercice 11.8
Podaire d’une spirale logarithmique par rapport à O, d’après CCP PC 2007
Soit k ∈ R
∗ et soit G la courbe d’équation polaire r = e
ku .
1) Déterminer un vecteur directeur de la tangente T u à la courbe en un point
M(u) et en donner une équation cartésienne.
2) Déterminer un vecteur normal à la courbe en un point M(u), puis trouver une
équation cartésienne de la normale N u .
3) Question de la rédaction : Déterminer la projection P(u) de l’origine O sur
T u . Le point P(u) décrit une courbe g. Par quelle transformation géométrique
simple obtient-on g à partir de G ?
1) Remarquons tout d’abord que r ne s’annule pas. La courbe G n’a donc pas de
point singulier.
La courbe admet comme paramétrage x(u) = e
ku cos u, y(u) = e
ku sin u. On a donc
x
(u) = e
ku (k cos u − sin u) et y
(u) = e
ku (k sin u + cos u).