11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
Lorsque t = 0, le point de la courbe est singulier. Le rapport
y(t) − y(0)
x(t) − x(0)
=
2t
3
tend
vers 0, lorsque t tend vers 0. Il en résulte que la courbe est tangente à l’axe Ox en
M(0) = O. (Comme de plus la courbe est symétrique par rapport à Ox puisque la
fonction x est paire et la fonction y est impaire, le point singulier est un point de
rebroussement de première espèce).
Donc, pour tout t ∈ R, le vecteur
→
V (t) = ı+t j est un vecteur directeur de la tangente
à la courbe en M(t).
Soit P le point de la tangente de coordonnées (X , Y ). Pour chercher une équation
de la tangente, on écrit que le déterminant, dans la base ( ı, , j), des vecteurs
→
V (t) et
− −−− →
M(t)P est nul. Mais
1 X − 3t
2
t Y − 2t
3
= Y − t X + t
3 .
On obtient donc comme équation de la tangente : t X − Y − t
3 = 0 .
2) Soit Q le point de la normale de coordonnées (X , Y ). On écrit cette fois que les
vecteurs
→
V (u) et
− −−−→
M(u)Q sont orthogonaux. En calculant leur produit scalaire, on
obtient
→
V (u).
− −−−→
M(u)Q = X + uY − 3u
2
− 2u
4 .
On en déduit alors comme équation de la normale : X + uY − 3u
2
− 2u
4 = 0 .
3) Dire qu’une droite est à la fois tangente et normale à G signifie qu’il existe
deux points M(t) et M(u) tels que la tangente à G en M(t) soit la normale
à G en M(u). Cela veut dire que les deux équations t X − Y − t
3 = 0 et
X + uY − 3u
2
− 2u
4 = 0 sont deux équations de la même droite. Cela se
traduit par la nullité des deux déterminants
1 u
t −1
et
1 3u
2 + 2u
4
t
t
3
, ce qui
donne le système (S)
ut + 1 = 0
t(t
2
− 3u
2
− 2u
4 ) = 0
. D’après la première équation
les nombres u et t ne peuvent être nuls. En multipliant la deuxième équation
par −u
2 /t, et puisque u
2 t
2 = 1, on obtient 2u
6 + 3u
4
− 1 = 0. Pour résoudre
cette équation, posons U = u
2 . On obtient 2U
3 + 3U
2
− 1 = 0. Le polynôme
H (U ) = 2U
3 + 3U
2
− 1 a une racine évidente −1, ce qui permet de le factoriser.
On trouve 2U
3 + 3U
2
− 1 = (U + 1)(2U
2 + U − 1) = (U + 1)
2 (2U − 1). La seule
racine positive de H est donc 1/2, ce qui donne pour u les deux valeurs opposées
±1/
√
2. Puisque t = −1/u, on obtient alors les deux couples (t, u) = (
√
2, −1/
√
2)
et (t, u) = (−
√
2, 1/
√
2). Il est facile de voir qu’ils vérifient bien le système (S). On
obtient les deux droites d’équation :
√
2X − Y = 2
√
2 et
√
2X + Y = 2
√
2.
Exercice 11.7
Centrale PC 2006
Soit la courbe G d’équation polaire r = cos 2u. Déterminer une équation cartésienne de sa tangente au point de paramètre u.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Lorsque t = 0, le point de la courbe est singulier. Le rapport
y(t) − y(0)
x(t) − x(0)
=
2t
3
tend
vers 0, lorsque t tend vers 0. Il en résulte que la courbe est tangente à l’axe Ox en
M(0) = O. (Comme de plus la courbe est symétrique par rapport à Ox puisque la
fonction x est paire et la fonction y est impaire, le point singulier est un point de
rebroussement de première espèce).
Donc, pour tout t ∈ R, le vecteur
→
V (t) = ı+t j est un vecteur directeur de la tangente
à la courbe en M(t).
Soit P le point de la tangente de coordonnées (X , Y ). Pour chercher une équation
de la tangente, on écrit que le déterminant, dans la base ( ı, , j), des vecteurs
→
V (t) et
− −−− →
M(t)P est nul. Mais
1 X − 3t
2
t Y − 2t
3
= Y − t X + t
3 .
On obtient donc comme équation de la tangente : t X − Y − t
3 = 0 .
2) Soit Q le point de la normale de coordonnées (X , Y ). On écrit cette fois que les
vecteurs
→
V (u) et
− −−−→
M(u)Q sont orthogonaux. En calculant leur produit scalaire, on
obtient
→
V (u).
− −−−→
M(u)Q = X + uY − 3u
2
− 2u
4 .
On en déduit alors comme équation de la normale : X + uY − 3u
2
− 2u
4 = 0 .
3) Dire qu’une droite est à la fois tangente et normale à G signifie qu’il existe
deux points M(t) et M(u) tels que la tangente à G en M(t) soit la normale
à G en M(u). Cela veut dire que les deux équations t X − Y − t
3 = 0 et
X + uY − 3u
2
− 2u
4 = 0 sont deux équations de la même droite. Cela se
traduit par la nullité des deux déterminants
1 u
t −1
et
1 3u
2 + 2u
4
t
t
3
, ce qui
donne le système (S)
ut + 1 = 0
t(t
2
− 3u
2
− 2u
4 ) = 0
. D’après la première équation
les nombres u et t ne peuvent être nuls. En multipliant la deuxième équation
par −u
2 /t, et puisque u
2 t
2 = 1, on obtient 2u
6 + 3u
4
− 1 = 0. Pour résoudre
cette équation, posons U = u
2 . On obtient 2U
3 + 3U
2
− 1 = 0. Le polynôme
H (U ) = 2U
3 + 3U
2
− 1 a une racine évidente −1, ce qui permet de le factoriser.
On trouve 2U
3 + 3U
2
− 1 = (U + 1)(2U
2 + U − 1) = (U + 1)
2 (2U − 1). La seule
racine positive de H est donc 1/2, ce qui donne pour u les deux valeurs opposées
±1/
√
2. Puisque t = −1/u, on obtient alors les deux couples (t, u) = (
√
2, −1/
√
2)
et (t, u) = (−
√
2, 1/
√
2). Il est facile de voir qu’ils vérifient bien le système (S). On
obtient les deux droites d’équation :
√
2X − Y = 2
√
2 et
√
2X + Y = 2
√
2.
Exercice 11.7
Centrale PC 2006
Soit la courbe G d’équation polaire r = cos 2u. Déterminer une équation cartésienne de sa tangente au point de paramètre u.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit