Rechercher une équation de la tangente est donc le problème de géométrie affine
élémentaire consistant à trouver une équation d’une droite dont on connaît un
vecteur directeur et un point : soit P le point de la droite de coordonnées (X , Y ).
On obtient une équation de la tangente en écrivant que le déterminant dans la base
( ı, , j) des vecteurs
− −−− →
O M
( p) (t) et
− −−− →
M(t)P est nul, ce qui donne pour équation
(Y − y(t))x
( p) (t) − (X − x(t))y
( p) (t) = 0 .
Pour une courbe donnée par une équation polaire, on peut,
- ou bien revenir au paramétrage x = r(u) cos u, y = r(u) sin u et appliquer ce
qui précède (voir l’exercice 11.8),
- ou bien écrire une équation de la tangente dans le repère mobile (O, u(u), v(u))
et faire ensuite un changement de repère pour se ramener dans le repère (O, , ı, , j)
(voir l’exercice 11.7).
• La normale à la courbe en un point M(t), est la droite passant par M(t) et
orthogonale à la tangente. Soit Q le point de la droite de coordonnées (X , Y ). On
obtient une équation de la normale en écrivant que le produit scalaire des vecteurs
− −−− →
O M
( p) (t) et
− −−− →
M(t)Q est nul, ce qui donne pour équation
(X − x(t))x
( p) (t) + (Y − y(t))y
( p) (t) = 0 .
On peut également chercher un vecteur non nul
→
W (t) orthogonal à
− −−− →
O M
( p) (t), et
écrire que
→
W (t) et
− −−− →
M(t)Q sont colinéaires.
Remarque
On peut bien sûr, dans les calculs précédents, remplacer
− −−− →
O M
( p) (t) par un vecteur non nul qui lui est colinéaire.
Exercice 11.6
CCP PSI 2005 proche de Mines-Ponts MP 2007
Soit G la courbe paramétrée par x(t) = 3t
2 , y(t) = 2t
3 .
1) Pour tout t réel, donner une équation cartésienne de la tangente à G au point
M(t)
2) Pour tout u réel, donner une équation cartésienne de la normale à G au point
M(u)
3) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à G.
1) On a tout d’abord
− −− →
O M
(t) = 6t ı + 6t
2 j , et on constate que, pour t = 0, tous les
points de la courbe sont réguliers. Dans ce cas, la tangente à la courbe au point M(t)
admet pour vecteur directeur
− −− →
O M
(t) = 6t ı + 6t
2 j, où encore, en divisant par 6t, le
vecteur
→
V (t) = ı + t j.
élémentaire consistant à trouver une équation d’une droite dont on connaît un
vecteur directeur et un point : soit P le point de la droite de coordonnées (X , Y ).
On obtient une équation de la tangente en écrivant que le déterminant dans la base
( ı, , j) des vecteurs
− −−− →
O M
( p) (t) et
− −−− →
M(t)P est nul, ce qui donne pour équation
(Y − y(t))x
( p) (t) − (X − x(t))y
( p) (t) = 0 .
Pour une courbe donnée par une équation polaire, on peut,
- ou bien revenir au paramétrage x = r(u) cos u, y = r(u) sin u et appliquer ce
qui précède (voir l’exercice 11.8),
- ou bien écrire une équation de la tangente dans le repère mobile (O, u(u), v(u))
et faire ensuite un changement de repère pour se ramener dans le repère (O, , ı, , j)
(voir l’exercice 11.7).
• La normale à la courbe en un point M(t), est la droite passant par M(t) et
orthogonale à la tangente. Soit Q le point de la droite de coordonnées (X , Y ). On
obtient une équation de la normale en écrivant que le produit scalaire des vecteurs
− −−− →
O M
( p) (t) et
− −−− →
M(t)Q est nul, ce qui donne pour équation
(X − x(t))x
( p) (t) + (Y − y(t))y
( p) (t) = 0 .
On peut également chercher un vecteur non nul
→
W (t) orthogonal à
− −−− →
O M
( p) (t), et
écrire que
→
W (t) et
− −−− →
M(t)Q sont colinéaires.
Remarque
On peut bien sûr, dans les calculs précédents, remplacer
− −−− →
O M
( p) (t) par un vecteur non nul qui lui est colinéaire.
Exercice 11.6
CCP PSI 2005 proche de Mines-Ponts MP 2007
Soit G la courbe paramétrée par x(t) = 3t
2 , y(t) = 2t
3 .
1) Pour tout t réel, donner une équation cartésienne de la tangente à G au point
M(t)
2) Pour tout u réel, donner une équation cartésienne de la normale à G au point
M(u)
3) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à G.
1) On a tout d’abord
− −− →
O M
(t) = 6t ı + 6t
2 j , et on constate que, pour t = 0, tous les
points de la courbe sont réguliers. Dans ce cas, la tangente à la courbe au point M(t)
admet pour vecteur directeur
− −− →
O M
(t) = 6t ı + 6t
2 j, où encore, en divisant par 6t, le
vecteur
→
V (t) = ı + t j.