11.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation
Pour t = 0, on obtient x
(t) = 2t + 1, y
(t) = 2 − 1/t
2 , x
(t) = 2, y
(t) = 2/t
3 ,
x
(t) = 0, y
(t) = −6/t
4 .
• On constate en particulier que
− −− →
O M
(t) et
−−−→
O M
(t) ne sont jamais colinéaires.
• Etudions si
− −− →
O M
(t) et
− −− →
O M
(t) peuvent être colinéaires.
Cette condition sera satisfaite si et seulement si le déterminant des vecteurs
− −− →
O M
(t) et
− −− →
O M
(t) est nul, c’est-à-dire x
(t)y
(t) − y
(t)x
(t) = 0. Mais,
x
(t)y
(t) − y
(t)x
(t) = 2
2t + 1
t 3 −
2 −
1
t 2
= 2
−2t
3 + 3t + 1
t 3
. Il en
résulte que la courbe admet des points d’inflexion pour les valeurs de t solutions
de l’équation 2t
3
− 3t − 1 = 0. Une solution évidente est t = −1. On peut alors
factoriser 2t
3
− 3t − 1 = (t + 1)(2t
2
− 2t − 1), et on obtient deux autres solutions
t =
1 ±
√
3
2
.
Conclusion : la courbe admet trois points d’inflexion.
Exercice 11.5
Mines-Ponts PSI 2007
Déterminer les points de rebroussement de la courbe C paramétrée par
x(t) = t cos t − sin t, y(t) = 1 + cos t.
• Une condition nécessaire pour avoir un point de rebroussement au point de paramètre t est que
− −− →
O M
(t) = 0 c’est-à-dire x
(t) = y
(t) = 0. Puisque x
(t) = −t sin t
et y
(t) = − sin t, la condition est satisfaite pour t = kp avec k ∈ Z.
• Cherchons le premier vecteur dérivé non nul en kp. On a x
(t) = −t cos t − sin t
et y
(t) = − cos t, donc x
(kp) = kp(−1)
k+1 et y
(kp) = (−1)
k+1 . Le vecteur
− −− →
O M
(kp) n’est donc pas nul.
• Cherchons enfin le premier vecteur dérivé non colinéaire avec
− −− →
O M
(kp). On a
x
(t) = t sin t − 2 cos t et y
(t) = sin t, donc x
(kp) = 2(−1)
k+1 et y
(kp) = 0.
On constate que les vecteurs
− −− →
O M
(kp) et
−−−→
O M
(kp) ne sont pas colinéaires. On est
donc dans le cas d’un point de rebroussement de première espèce.
Conclusion : Pour tout k ∈ Z, le point M(kp) de coordonnées (kp(−1)
k , 1 + (−1)
k )
est un point de rebroussement de première espèce de la courbe C.
11.1.2 Équation de la tangente et de la normale en un point
Ce qu’il faut savoir
• La tangente à la courbe en un point M(t) admet pour vecteur directeur le vecteur
− −−− →
O M
( p) (t) = x
( p) (t) ı + y
( p) (t) j , premier vecteur dérivé non nul, (lorsque M(t) est
régulier, c’est le vecteur
− −− →
O M
(t)).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Pour t = 0, on obtient x
(t) = 2t + 1, y
(t) = 2 − 1/t
2 , x
(t) = 2, y
(t) = 2/t
3 ,
x
(t) = 0, y
(t) = −6/t
4 .
• On constate en particulier que
− −− →
O M
(t) et
−−−→
O M
(t) ne sont jamais colinéaires.
• Etudions si
− −− →
O M
(t) et
− −− →
O M
(t) peuvent être colinéaires.
Cette condition sera satisfaite si et seulement si le déterminant des vecteurs
− −− →
O M
(t) et
− −− →
O M
(t) est nul, c’est-à-dire x
(t)y
(t) − y
(t)x
(t) = 0. Mais,
x
(t)y
(t) − y
(t)x
(t) = 2
2t + 1
t 3 −
2 −
1
t 2
= 2
−2t
3 + 3t + 1
t 3
. Il en
résulte que la courbe admet des points d’inflexion pour les valeurs de t solutions
de l’équation 2t
3
− 3t − 1 = 0. Une solution évidente est t = −1. On peut alors
factoriser 2t
3
− 3t − 1 = (t + 1)(2t
2
− 2t − 1), et on obtient deux autres solutions
t =
1 ±
√
3
2
.
Conclusion : la courbe admet trois points d’inflexion.
Exercice 11.5
Mines-Ponts PSI 2007
Déterminer les points de rebroussement de la courbe C paramétrée par
x(t) = t cos t − sin t, y(t) = 1 + cos t.
• Une condition nécessaire pour avoir un point de rebroussement au point de paramètre t est que
− −− →
O M
(t) = 0 c’est-à-dire x
(t) = y
(t) = 0. Puisque x
(t) = −t sin t
et y
(t) = − sin t, la condition est satisfaite pour t = kp avec k ∈ Z.
• Cherchons le premier vecteur dérivé non nul en kp. On a x
(t) = −t cos t − sin t
et y
(t) = − cos t, donc x
(kp) = kp(−1)
k+1 et y
(kp) = (−1)
k+1 . Le vecteur
− −− →
O M
(kp) n’est donc pas nul.
• Cherchons enfin le premier vecteur dérivé non colinéaire avec
− −− →
O M
(kp). On a
x
(t) = t sin t − 2 cos t et y
(t) = sin t, donc x
(kp) = 2(−1)
k+1 et y
(kp) = 0.
On constate que les vecteurs
− −− →
O M
(kp) et
−−−→
O M
(kp) ne sont pas colinéaires. On est
donc dans le cas d’un point de rebroussement de première espèce.
Conclusion : Pour tout k ∈ Z, le point M(kp) de coordonnées (kp(−1)
k , 1 + (−1)
k )
est un point de rebroussement de première espèce de la courbe C.
11.1.2 Équation de la tangente et de la normale en un point
Ce qu’il faut savoir
• La tangente à la courbe en un point M(t) admet pour vecteur directeur le vecteur
− −−− →
O M
( p) (t) = x
( p) (t) ı + y
( p) (t) j , premier vecteur dérivé non nul, (lorsque M(t) est
régulier, c’est le vecteur
− −− →
O M
(t)).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit