Exercice 11.3
Étudier au voisinage de 1, l’allure de la courbe représentative de la fonction f
définie par f (t) =
t(3 − 2t)(t − 1)
2 , t − 1 +
1
t
.
En posant u = t − 1, on a
x(1 + u) = (1 + u)(1 − 2u)u
2 = u
2
− u
3
− 2u
4 ,
y(1 + u) = u +
1
1 + u
= 1 + u
2
− u
3 + u
4 + o(u
4 ) .
Donc
− − →
O M(1 + u) =
− − →
O M(1) + u
2 − →
U 2 + u
3 − →
U 3 + u
4 − →
U 4 + o(u
4 ) ,
où
− →
U 2 = −
− →
U 3 = ı + j et
− →
U 4 = −2 ı + j .
Les vecteurs
− →
U 2 et
− →
U 4 ne sont pas colinéaires et forment donc une base du plan. Par
contre
− →
U 2 et
− →
U 3 sont colinéaires. On a donc
− − →
O M(t) =
− − →
O M(1) + u
2 (1 − u)
− →
U 2 + u
4 − →
U 4 + o(u
4 ) .
Il en résulte que le point M(1) = (0, 1) est un point de rebroussement de deuxième
espèce ( p = 2 et q = 4 sont pairs). La tangente à la courbe a comme vecteur
directeur le vecteur
− →
U 2 .
-
6
Y
x
y
M(1)
− →
U 2
− →
U 4
Exercice 11.4
Centrale PC 2007
Soit C la courbe paramétrée définie par x(t) = t
2 + t et y(t) = 2t + 1/t où t ∈ R
∗ .
Montrer que C admet trois points d’inflexion.