Points singuliers
L’étude précédente est souvent utile lorsque le point M(a) est singulier, c’està-dire lorsque
→
V 1 =
→
0 , cependant on peut obtenir le coefficient directeur de la
tangente à la courbe en M(a) comme limite en a du rapport
y(t) − y(a)
x(t) − x(a)
et aussi,
comme limite en a du rapport
y
(t)
x
(t)
.
Remarque
En coordonnées polaires, si f (u) = (r(u) cos u, r(u) sin u) , alors on a
→
V 1
2 = x
2 + y
2 = r
2 + r
2 et il ne peut y avoir de point singulier en dehors
de l’origine.
Points d’inflexion
Une condition suffisante pour que la courbe admette un point d’inflexion au point
M(a) est que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
(i) les vecteurs
− −− →
O M
(a) et
− −− →
O M
(a) sont colinéaires,
(ii) les vecteurs
− −− →
O M
(a) et
−−−→
O M
(a) sont linéairement indépendants.
La condition (i) est nécessaire mais pas suffisante (voir exercice 11.1).
Les conditions (i) et (ii) sont suffisantes mais pas nécessaires (voir exercice 11.2).
Exercice 11.1
Étudier au voisinage de 0, l’allure de la courbe représentative de la fonction f
définie par f (t) =
sin
3 t
1 + t
, (1 + t)(sh t − sin t)
.
En effectuant un développement limité en zéro :
x(t) = (t
3 + o(t
4 ))(1 − t + o(t)) = t
3 (1 + o(t))(1 − t + o(t))
= t
3 (1 − t + o(t)) = t
3
− t
4 + o(t
4 ) ,
y(t) = (1 + t)
t +
t
3
6
−
t −
t
3
6
+ o(t
4 )
= (1 + t)
t
3
3
+ o(t
4 )
= t
3 (1 + t)
1
3
+ o(t)
=
t
3
3
+
t
4
3
+ o(t
4 ) .
Ceci s’écrit vectoriellement
− − →
O M(t) =
− − →
O M(0) + t
3 − →
U 3 + t
4 − →
U 4 + o(t
4 ) , où
− →
U 3 = ı +
1
3
j et
− →
U 4 = − ı +
1
3
j .