En particulier :
− La courbe est tangente en M(a) au vecteur
− →
V p .
− La position de la courbe par rapport à sa tangente est donnée par le vecteur
(t − a)
q − →
V q : si l’on place l’origine de ce vecteur en M(a), il se trouve situé, pour
des valeurs de t proches de a, du même côté de la tangente que le point M(t).
− Pour des valeurs de t supérieures à a et proches de a, la courbe se trouve à
l’intérieur du parallélogramme construit sur les vecteurs
− →
V p et
→
V q placés en M(a).
− Pour des valeurs de t inférieures à a, la position de la courbe par rapport à sa
tangente dépend des signes de (t −a)
p et (t −a)
q , et donc de la parité des nombres
p et q. Il en résulte quatre cas possibles, pour la position de C au voisinage de
M(a).
q p
impair
pair
impair
pair
M(a) point d’inflexion
:
→
V p
→
V q
M(a)
t > a
t < a
M(a) point de rebroussement
de 1
o espèce
:
→
V p
→
V q
M(a)
t > a
t < a
M(a) point ordinaire
:
t < a
→
V p
→
V q
M(a)
t > a
M(a) point de rebroussement
de 2
o espèce
:
→
V p
→
V q
M(a)
En pratique, sauf dans le cas où les fonctions x et y sont très simples (des fonctions polynômes par exemple), on préférera utiliser les développements limités.
En effet, si les fonctions x et y sont indéfiniment dérivables au voisinage de a,
elles possèdent alors des développements limités en a de la forme
x(t) = a 0 + a 1 (t − a) + . . . + a n (t − a)
n + o((t − a)
n )
y(t) = b 0 + b 1 (t − a) + . . . + b n (t − a)
n + o((t − a)
n ) .
Pour k 1, posons
− →
U k = a k ı + b k j . On a alors, d’après la formule de Taylor,
− →
U k =
1
k!
→
V k . On peut donc, dans l’étude précédente, remplacer les vecteurs
→
V k
par les vecteurs
− →
U k .
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