11 Étude affine
et métrique des courbes
Dans ce chapitre on complète l’étude des courbes paramétrées et polaires faite en
première année. Nous ne mentionnerons dans les rappels de cours que les notions ne
figurant pas dans notre livre « Tous les exercices d’algèbre et de géométrie MPSIPCSI-PTSI ».
Précisons pour commencer les notations qui seront utilisées dans ce chapitre.
On se place dans R
2 muni d’un repère orthonormal direct (O, , ı, , j). Une application
f : t → f (t) de classe C
k (k 1) d’un intervalle I de R dans R
2 définit un arc
paramétré orienté de classe C
k . Nous noterons C = f (I ) la courbe géométrique
image de I par f . L’orientation correspond au sens de parcours de la courbe quand t
décrit I . La variable t est appelé paramètre de l’arc de courbe.
Lorsque f (t) = (x(t), y(t)), nous noterons également M(t) le point de la courbe de
paramètre t.
Pour tout nombre réel u, la base orthonormée directe ( u(u), v(u)) est telle que l’angle
( ı, u(u)) soit de mesure u.
11.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
11.1.1 Étude locale
Ce qu’il faut savoir
On étudie le comportement de la courbe lorsque t est au voisinage de a ∈ I . On
suppose que la fonction f est indéfiniment dérivable au voisinage de a. Pour tout
k ∈ N
∗ , on note
− →
V k = x
(k) (a) ı + y
(k) (a) j, et l’on suppose qu’il existe deux entiers
p, q tels que
− le nombre p soit le plus petit entier au moins égal à 1, tel que
− →
V p =
→
0 ,
− le nombre q soit le plus petit entier, au moins égal à p + 1 tel que les vecteurs
− →
V p et
− →
V q ne soient pas colinéaires.
On a ainsi une base (
− →
V p ,
→
V q ) du plan. Alors au voisinage de a, le comportement
du vecteur
−−−−−−→
M(a)M(t) est le même que celui du vecteur
(t − a)
p
p!
− →
V p +
(t − a)
q
q!
→
V q .