Il y a deux situations à distinguer :
– la droite D et le plan P sont sécants
– la droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.
Pour traiter cet exercice, le choix d’un repère bien adapté à chacune de ces situations
est essentiel.
• La droite D et le plan P sont sécants.
On peut par exemple choisir un repère orthonormal de l’espace (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) tel
que P a pour équation cartésienne dans ce repère z = 0 et il existe a dans R
∗ tel
que D a pour système d’équations cartésiennes y = az, x = 0. Le vecteur u de
coordonnées (0, a, 1) est un vecteur directeur de D et le point O appartient à cette
droite. Soit alors M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z).
On a d(M, P) = |z| et d(M, D) =
u ∧
− − →
O M
u
=
(y − az) 2 + (1 + a 2 )x 2
√
1 + a 2
.
On en déduit que les points équidistants de D et de P sont les points M dont les
coordonnées (x, y, z) vérifient la relation z
2 (1 + a
2 ) = (y − az)
2 + (1 + a
2 )x
2 ou
encore (1 + a
2 )x
2 + y
2
− z
2
− 2ayz = 0.
On obtient donc une quadrique de matrice A =
⎛
⎝
1 + a
2
0
0
0
1 −a
0
−a −1
⎞
⎠ . Cette quadrique est de rang 3. Comme sa partie linéaire est nulle son centre est O. On peut se
lancer dans le calcul du spectre de A, mais on peut aussi constater que la quadrique
contient son centre et montrer que ce n’est pas un singleton en faisant référence à
la définition géométrique de cette quadrique. (Il y a d’autres points de l’espace que
l’origine qui sont équidistants de P et D). Le lieu des points à déterminer est un
cône.
• La droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.
On peut alors, par exemple, choisir un repère orthonormal de l’espace (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k )
tel qu’il existe a dans R de sorte que P a pour équation cartésienne z = −a
et D admet pour système d’équations cartésiennes z = a, y = 0. Soit alors
M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z). On a d(M, P) = |z + a| et
d(M, D) =
y 2 + (z − a) 2 . On en déduit cette fois que les points équidistants
de D et de P sont les points M dont les coordonnées (x, y, z) vérifient la relation
(z + a)
2 = y
2 + (z − a)
2 ou encore y
2
− 4az = 0.
On a alors les deux cas suivants :
– si a = 0, ce qui correspond à la situation où D est inclus dans P, alors l’ensemble
recherché est le plan d’équation y = 0 ;
– si a = 0 alors l’ensemble recherché est un cylindre parabolique.
Remarque
Le dernier résultat n’est pas très surprenant. L’intersection d’un plan H orthogonal
à D avec le lieu cherché, est l’ensemble des points équidistants d’une droite et
d’un plan, ce qui donne une parabole dans H . De plus, on constate que le lieu est
invariant par les translations de vecteur colinéaire à un vecteur directeur de D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
– la droite D et le plan P sont sécants
– la droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.
Pour traiter cet exercice, le choix d’un repère bien adapté à chacune de ces situations
est essentiel.
• La droite D et le plan P sont sécants.
On peut par exemple choisir un repère orthonormal de l’espace (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) tel
que P a pour équation cartésienne dans ce repère z = 0 et il existe a dans R
∗ tel
que D a pour système d’équations cartésiennes y = az, x = 0. Le vecteur u de
coordonnées (0, a, 1) est un vecteur directeur de D et le point O appartient à cette
droite. Soit alors M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z).
On a d(M, P) = |z| et d(M, D) =
u ∧
− − →
O M
u
=
(y − az) 2 + (1 + a 2 )x 2
√
1 + a 2
.
On en déduit que les points équidistants de D et de P sont les points M dont les
coordonnées (x, y, z) vérifient la relation z
2 (1 + a
2 ) = (y − az)
2 + (1 + a
2 )x
2 ou
encore (1 + a
2 )x
2 + y
2
− z
2
− 2ayz = 0.
On obtient donc une quadrique de matrice A =
⎛
⎝
1 + a
2
0
0
0
1 −a
0
−a −1
⎞
⎠ . Cette quadrique est de rang 3. Comme sa partie linéaire est nulle son centre est O. On peut se
lancer dans le calcul du spectre de A, mais on peut aussi constater que la quadrique
contient son centre et montrer que ce n’est pas un singleton en faisant référence à
la définition géométrique de cette quadrique. (Il y a d’autres points de l’espace que
l’origine qui sont équidistants de P et D). Le lieu des points à déterminer est un
cône.
• La droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.
On peut alors, par exemple, choisir un repère orthonormal de l’espace (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k )
tel qu’il existe a dans R de sorte que P a pour équation cartésienne z = −a
et D admet pour système d’équations cartésiennes z = a, y = 0. Soit alors
M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z). On a d(M, P) = |z + a| et
d(M, D) =
y 2 + (z − a) 2 . On en déduit cette fois que les points équidistants
de D et de P sont les points M dont les coordonnées (x, y, z) vérifient la relation
(z + a)
2 = y
2 + (z − a)
2 ou encore y
2
− 4az = 0.
On a alors les deux cas suivants :
– si a = 0, ce qui correspond à la situation où D est inclus dans P, alors l’ensemble
recherché est le plan d’équation y = 0 ;
– si a = 0 alors l’ensemble recherché est un cylindre parabolique.
Remarque
Le dernier résultat n’est pas très surprenant. L’intersection d’un plan H orthogonal
à D avec le lieu cherché, est l’ensemble des points équidistants d’une droite et
d’un plan, ce qui donne une parabole dans H . De plus, on constate que le lieu est
invariant par les translations de vecteur colinéaire à un vecteur directeur de D.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit