Chap. 10. Quadriques et coniques
On en déduit, en changeant a en −a et m en −m, que
d(M, D 2 )
2 =
1
1 + m 2
(mx + y)
2 + (1 + m
2 )(z + a)
2
.
Le point M(x, y, z) appartient à (S) si et seulement si d(M, D 1 ) = d(M, D 2 ),
ou encore d(M, D 1 )
2 = d(M, D 2 )
2 . Cette relation se traduit par l’équation
(mx − y)
2 + (1 + m
2 )(z − a)
2 = (mx + y)
2 + (1 + m
2 )(z + a)
2 , et finalement
par mx y + a(1 + m
2 )z = 0 .
On constate alors que (S) est une quadrique Q dont nous allons déterminer la nature.
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
m
2
0
m
2
0 0
0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ la matrice de cette quadrique. Son spectre est
−
m
2
,
m
2
, 0
.
Comme la matrice de Q n’est pas de rang 3, on explicite une base orthonormale de
vecteurs propres. On obtient par exemple :
e 1 =
−
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 2 =
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 3 = (0, 0, 1) .
Dans le repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation :
−
m
2
X
2 +
m
2
Y
2 + a(1 + m
2 )Z = 0.
Comme m et a sont non nuls, cette équation est celle d’un paraboloïde hyperbolique.
Cherchons les droites incluses dans (S). Soit M 0 de coordonnées (x 0 , y 0 , z 0 ) un point
de (S) et soit v = a ı + b j + g k un vecteur directeur d’une droite D contenant M 0 . La
droite D admet pour représentation paramétrique (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + gt) et elle est
incluse dans (S) si et seulement si
∀t ∈ R, m(x 0 + at)(y 0 + bt) + a(1 + m
2 )(z 0 + gt) = 0,
ou encore, puisque les coordonnées de M 0 vérifient l’équation de (S),
∀t ∈ R,
m(ay 0 + bx 0 ) + a(1 + m
2 )g
t + m(ab)t
2 = 0 .
Cette dernière expression est nulle pour tout t réel si et seulement si
⎧
⎨
⎩
ab = 0
g =
−m
a(1 + m
2 )
(ay 0 + bx 0 ) .
On obtient (a, b, g) = l(0, 1,
−m
a(1 + m
2 )
x 0 ) ou (a, b, g) = l(1, 0,
−m
a(1 + m
2 )
y 0 )
(l ∈ R). Ceci montre que chaque point de (S) appartient à exactement deux droites
qui sont incluses dans (S).
Exercice 10.17
Centrale MP 2005
Dans l’espace affine euclidien R
3 , trouver le lieu des points équidistants d’une
droite D et d’un plan P.
On en déduit, en changeant a en −a et m en −m, que
d(M, D 2 )
2 =
1
1 + m 2
(mx + y)
2 + (1 + m
2 )(z + a)
2
.
Le point M(x, y, z) appartient à (S) si et seulement si d(M, D 1 ) = d(M, D 2 ),
ou encore d(M, D 1 )
2 = d(M, D 2 )
2 . Cette relation se traduit par l’équation
(mx − y)
2 + (1 + m
2 )(z − a)
2 = (mx + y)
2 + (1 + m
2 )(z + a)
2 , et finalement
par mx y + a(1 + m
2 )z = 0 .
On constate alors que (S) est une quadrique Q dont nous allons déterminer la nature.
Soit A =
⎛
⎜
⎜
⎝
0
m
2
0
m
2
0 0
0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠ la matrice de cette quadrique. Son spectre est
−
m
2
,
m
2
, 0
.
Comme la matrice de Q n’est pas de rang 3, on explicite une base orthonormale de
vecteurs propres. On obtient par exemple :
e 1 =
−
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 2 =
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 3 = (0, 0, 1) .
Dans le repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation :
−
m
2
X
2 +
m
2
Y
2 + a(1 + m
2 )Z = 0.
Comme m et a sont non nuls, cette équation est celle d’un paraboloïde hyperbolique.
Cherchons les droites incluses dans (S). Soit M 0 de coordonnées (x 0 , y 0 , z 0 ) un point
de (S) et soit v = a ı + b j + g k un vecteur directeur d’une droite D contenant M 0 . La
droite D admet pour représentation paramétrique (x 0 + at, y 0 + bt, z 0 + gt) et elle est
incluse dans (S) si et seulement si
∀t ∈ R, m(x 0 + at)(y 0 + bt) + a(1 + m
2 )(z 0 + gt) = 0,
ou encore, puisque les coordonnées de M 0 vérifient l’équation de (S),
∀t ∈ R,
m(ay 0 + bx 0 ) + a(1 + m
2 )g
t + m(ab)t
2 = 0 .
Cette dernière expression est nulle pour tout t réel si et seulement si
⎧
⎨
⎩
ab = 0
g =
−m
a(1 + m
2 )
(ay 0 + bx 0 ) .
On obtient (a, b, g) = l(0, 1,
−m
a(1 + m
2 )
x 0 ) ou (a, b, g) = l(1, 0,
−m
a(1 + m
2 )
y 0 )
(l ∈ R). Ceci montre que chaque point de (S) appartient à exactement deux droites
qui sont incluses dans (S).
Exercice 10.17
Centrale MP 2005
Dans l’espace affine euclidien R
3 , trouver le lieu des points équidistants d’une
droite D et d’un plan P.