10.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 10.15
CCP PSI 2006
Soit (S) la surface d’équation x
2 +y
2
−z
2 = 1. Montrer qu’aucune droite parallèle
au plan (x Oy) n’est contenue dans (S). Soit D la droite définie par x = az + b
et y = cz + d. Montrer que D est incluse dans (S) si et seulement si la matrice
A =
a b
c d
est orthogonale.
Remarquons que (S) est un hyperboloïde à une nappe.
Tout droite parallèle au plan (x Oy) est contenue dans un plan P a d’équation z = a.
Soit M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z). Le point M appartient à (S)∩ P a
si et seulement si x
2 + y
2 = 1 + a
2 et z = a, ceci montre que (S) ∩ P a est borné, il
ne contient donc pas de droite.
La droite D d’équations cartésiennes x = az + b et y = cz + d est incluse dans (S) si
et seulement si pour tout z dans R on a (az + b)
2 + (cz + d)
2
− z
2 = 1 ce qui équivaut
à : pour tout z dans R, on (a
2 + c
2
− 1)z
2 +2(ab + cd)z + b
2 + d
2
− 1 = 0. Finalement la
droite D est incluse dans (S) si et seulement si a
2 +c
2 = 1, ab+cd = 0 et b
2 +d
2 = 1,
ce qui signifie exactement que la matrice A =
a b
c d
est orthogonale.
Exercice 10.16
Centrale MP 2005 et 2006
Soient m et a deux réels non nuls. On considère les droites
(D 1 )
y = mx
z = a
et (D 2 )
y = −mx
z = −a.
Trouver l’ensemble (S) des points M de R
3 tels que d(M, D 1 ) = d(M, D 2 ).
Trouver les droites incluses dans (S).
Rappelons que si M 0 est un point de D 1 et u un vecteur directeur de D 1 , alors la
distance d’un point M à la droite D 1 est donnée par la formule :
d(M, D 1 ) =
− −− →
M 0 M ∧ u
→ u
Les vecteurs n 1 = −m ı + j et n 2 = k sont des vecteurs normaux aux plans qui
définissent D 1 , le vecteur u = n 1 ∧ n 2 = ı + m j est alors un vecteur directeur de D 1 .
En choisissant M 0 de coordonnées (0, 0, a), on obtient
d(M, D 1 )
2 =
1
1 + m 2
(mx − y)
2 + (1 + m
2 )(z − a)
2
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit