Chap. 10. Quadriques et coniques
• l ∈ R\ [−1, 1].
La conique C l est une hyperbole car
2
1 + l
= 0.
• l = −1
La conique C l a pour équation x
2
− 2x y + y
2 + 2x + 2y = 0.
La matrice A a pour spectre {2, 0}. Les vecteurs e 1 = (−
√
2
2
,
√
2
2
) et
e 2 = (
√
2
2
,
√
2
2
) forment une base orthonormale de R
2 constituée de vecteurs propres de A. Dans le repère (O, e 1 , e 2 ) l’équation de C l est
√
2X
2 + Y = 0.
Pour l = −1, la conique C l est une parabole.
• l = 1
La conique C l a pour équation x
2 + 2x y + y
2 + 2x + 2y = 0. On peut appliquer
à nouveau les changements de base usuels, mais on peut aussi constater que
x
2 + 2x y + y
2 + 2x + 2y = (x + y)(x + y + 2). La conique C l est alors la réunion
de deux droites parallèles.
3) L’ensemble des centres des C l est l’ensemble des points de coordonnées
(−
1
l + 1
, −
1
l + 1
) pour l dans R\ {−1}. Cet ensemble est la droite d’équation x = y privée du point de coordonnées (0, 0).
Exercice 10.14
Mines-Ponts MP 2006
Reconnaître et tracer la courbe E d’équation 13x
2
− 32x y + 37y
2 = 5.
Soit la matrice A =
13 −16
−16
37
.
Le polynôme caractéristique de cette matrice est l
2
− 50l + 225 = (l − 5)(l − 45).
On en déduit que E est une conique à centre du genre ellipse.
Comme il n’y a pas de terme du premier degré en x et en y dans l’équation de E, on
constate, en menant les calculs habituels, que son centre est (0, 0).
Les vecteurs propres de A permettent de construire une base orthonormale
(e 1 , e 2 ) de R
2 telle que dans le repère (O, e 1 , e 2 ), la conique E a pour équation
5X
2 + 45Y
2
− 5 = 0. On constate alors que E est une ellipse propre (c’est-à-dire
qu’elle est non vide et non réduite à un point).
Pour tracer E on peut expliciter les vecteurs propres de A. Ils donnent les directions des axes de l’ellipse. On obtient (
2
5
√
5,
1
5
√
5), associé à la valeur propre 5 et
(−
1
5
√
5,
2
5
√
5) associé à la valeur propre 45.
• l ∈ R\ [−1, 1].
La conique C l est une hyperbole car
2
1 + l
= 0.
• l = −1
La conique C l a pour équation x
2
− 2x y + y
2 + 2x + 2y = 0.
La matrice A a pour spectre {2, 0}. Les vecteurs e 1 = (−
√
2
2
,
√
2
2
) et
e 2 = (
√
2
2
,
√
2
2
) forment une base orthonormale de R
2 constituée de vecteurs propres de A. Dans le repère (O, e 1 , e 2 ) l’équation de C l est
√
2X
2 + Y = 0.
Pour l = −1, la conique C l est une parabole.
• l = 1
La conique C l a pour équation x
2 + 2x y + y
2 + 2x + 2y = 0. On peut appliquer
à nouveau les changements de base usuels, mais on peut aussi constater que
x
2 + 2x y + y
2 + 2x + 2y = (x + y)(x + y + 2). La conique C l est alors la réunion
de deux droites parallèles.
3) L’ensemble des centres des C l est l’ensemble des points de coordonnées
(−
1
l + 1
, −
1
l + 1
) pour l dans R\ {−1}. Cet ensemble est la droite d’équation x = y privée du point de coordonnées (0, 0).
Exercice 10.14
Mines-Ponts MP 2006
Reconnaître et tracer la courbe E d’équation 13x
2
− 32x y + 37y
2 = 5.
Soit la matrice A =
13 −16
−16
37
.
Le polynôme caractéristique de cette matrice est l
2
− 50l + 225 = (l − 5)(l − 45).
On en déduit que E est une conique à centre du genre ellipse.
Comme il n’y a pas de terme du premier degré en x et en y dans l’équation de E, on
constate, en menant les calculs habituels, que son centre est (0, 0).
Les vecteurs propres de A permettent de construire une base orthonormale
(e 1 , e 2 ) de R
2 telle que dans le repère (O, e 1 , e 2 ), la conique E a pour équation
5X
2 + 45Y
2
− 5 = 0. On constate alors que E est une ellipse propre (c’est-à-dire
qu’elle est non vide et non réduite à un point).
Pour tracer E on peut expliciter les vecteurs propres de A. Ils donnent les directions des axes de l’ellipse. On obtient (
2
5
√
5,
1
5
√
5), associé à la valeur propre 5 et
(−
1
5
√
5,
2
5
√
5) associé à la valeur propre 45.