Traitons maintenant le cas u ≡ 0(p).
L’équation de C u devient y
2 = 0. La conique C u est dégénérée : c’est la droite d’équation y = 0.
Exercice 10.13
Mines-Ponts MP 2004
Soit C l la courbe d’équation x
2 + 2lx y + y
2 + 2x + 2y = 0.
1) Déterminer les points communs à toutes les courbes C l .
2) Nature de C l suivant l.
3) Ensemble des centres des C l .
1) Soit M un point de coordonnées (x 0 , y 0 ) tel que pour tout l dans R, le point M
appartient à C l . En particulier M appartient à C 1 et C 0 . Ses coordonnées vérifient
donc le système d’équations
x
2 + 2x y + y
2 + 2x + 2y = 0
x
2 + y
2 + 2x + 2y
= 0
.
On en déduit que x y = 0. Si x = 0 alors l’appartenance de M à C 0 montre que
y = 0 ou y = −2, si Si y = 0 on a x = 0 ou x = −2. On a donc ainsi montré
que C 1 ∩ C 0 = {(0, 0), (0, −2), (−2, 0)}, et on vérifie sans difficulté que les points
ainsi obtenus appartiennent à C l pour tout l dans R.
2) Soit la matrice A =
1 l
l 1
.
Son polynôme caractéristique est X
2
− 2X + 1 − l
2 = (X − 1 − l)(X − 1 + l).
Commençons par traiter le cas l ∈ R\ {−1, 1}.
La conique C l est à centre. Les coordonnées (x 0 , y 0 ) de son centre V vérifient le
système d’équations
2x 0 + 2ly 0 + 2 = 0
2lx 0 + 2y 0 + 2 = 0
.
On obtient (x 0 , y 0 ) =
−
1
l + 1
, −
1
l + 1
.
Dans le repère (V, i , j), la conique C l a pour équation Y
2 +2lXY +Y
2
−
2
l + 1
= 0.
Les vecteurs propres de A permettent de construire une base orthonormale
(e 1 , e 2 ) de R
2 telle que dans le repère (V, e 1 , e 2 ), la conique C l a pour équation
(1 − l)X
2 + (1 + l)Y
2
−
2
1 + l
= 0.
• l ∈ ] − 1, 1 [
La conique C l est une ellipse propre car
2
1 + l
> 0.
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