Chap. 10. Quadriques et coniques
Le rang de cette matrice vaut 2 et on a Sp( A) = {0, 2, 3}. On obtient par exemple
comme base orthonormale de vecteurs propres :
e 1 =
−
√
6
6
,
√
6
6
,
√
6
3
, e 2 =
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 3 =
√
3
3
, −
√
3
3
,
√
3
3
.
Les formules de passage du repère initial au repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 )
s’écrivent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = −
√
6
6
X +
√
2
2
Y +
√
3
3
Z ,
y =
√
6
6
X +
√
2
2
Y −
√
3
3
Z
z =
√
6
3
X +
√
3
3
Z
.
On en déduit que dans le repère (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation
2Y
2 + 3Z
2
−
4
√
6
3
X +
√
2Y +
5
√
3
3
Z + 3 = 0. En mettant cette expression sous forme
canonique, on obtient
3
Z +
5
18
√
3
2
+ 2
Y +
√
2
4
2
−
4
3
√
6
X −
37
144
√
6
= 0.
Soit O
=
−
5
√
3
18
, −
√
2
4
,
37
√
6
144
. Dans le repère orthonormal (O
, e 1 , e 2 , e 3 ), la
quadrique a pour équation 3Z
2 + 2Y
2
−
4
3
√
6X
= 0.
On reconnaît un paraboloïde elliptique.
10.1.3 Coniques
Les coniques ont été étudiées dans le livre de première année « Tous les exercices
d’algèbre et de géométrie MPSI-PCSI-PTSI » auquel nous vous renvoyons pour les
rappels de cours.
La méthode de réduction des quadriques donnée plus haut s’adapte sans difficulté
aux coniques.
Exercice 10.7
Mines-Ponts MP 2006
Étudier la courbe (C) d’équation : 16x
2
− 24x y + 9y
2 + 19x − 20y = 0.
Le rang de cette matrice vaut 2 et on a Sp( A) = {0, 2, 3}. On obtient par exemple
comme base orthonormale de vecteurs propres :
e 1 =
−
√
6
6
,
√
6
6
,
√
6
3
, e 2 =
√
2
2
,
√
2
2
, 0
, e 3 =
√
3
3
, −
√
3
3
,
√
3
3
.
Les formules de passage du repère initial au repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 )
s’écrivent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x = −
√
6
6
X +
√
2
2
Y +
√
3
3
Z ,
y =
√
6
6
X +
√
2
2
Y −
√
3
3
Z
z =
√
6
3
X +
√
3
3
Z
.
On en déduit que dans le repère (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation
2Y
2 + 3Z
2
−
4
√
6
3
X +
√
2Y +
5
√
3
3
Z + 3 = 0. En mettant cette expression sous forme
canonique, on obtient
3
Z +
5
18
√
3
2
+ 2
Y +
√
2
4
2
−
4
3
√
6
X −
37
144
√
6
= 0.
Soit O
=
−
5
√
3
18
, −
√
2
4
,
37
√
6
144
. Dans le repère orthonormal (O
, e 1 , e 2 , e 3 ), la
quadrique a pour équation 3Z
2 + 2Y
2
−
4
3
√
6X
= 0.
On reconnaît un paraboloïde elliptique.
10.1.3 Coniques
Les coniques ont été étudiées dans le livre de première année « Tous les exercices
d’algèbre et de géométrie MPSI-PCSI-PTSI » auquel nous vous renvoyons pour les
rappels de cours.
La méthode de réduction des quadriques donnée plus haut s’adapte sans difficulté
aux coniques.
Exercice 10.7
Mines-Ponts MP 2006
Étudier la courbe (C) d’équation : 16x
2
− 24x y + 9y
2 + 19x − 20y = 0.