• rg A < 3.
◦ On explicite les vecteurs e 1 , e 2 et e 3 . On donne en particulier la matrice de
passage de la base (
→
ı ,
→
j ,
→
k ) à la base (e 1 , e 2 , e 3 ) : c’est la matrice P des
coordonnées de e 1 , e 2 et e 3 dans la base (
→
ı ,
→
j ,
→
k ).
◦ En utilisant les formules de passage données par :
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ = P ·
⎛
⎝
X
Y
Z
⎞
⎠ ,
on détermine l’équation cartésienne de Q dans le repère R
= (O, e 1 , e 2 , e 3 ).
◦ On met sous forme canonique les trinômes en X en Y , et en Z et on en déduit
un nouveau repère R
= (O
, e 1 , e 2 , e 3 ) (obtenu par translation de R
), dans
lequel Q admet une équation cartésienne d’un des types proposés dans les
tableaux 2 et 3.
Exercice 10.5
Centrale PC 2005
Etudier la quadrique Q d’équation x
2 + y
2 + z
2
− 2x y − 2xz − 2yz − 1 = 0
La matrice de Q est donnée par A =
⎛
⎝
1 −1 −1
−1
1 −1
−1 −1
1
⎞
⎠ .
Cette matrice est de rang 3 et la partie linéaire f est nulle. Il s’agit donc d’une
quadrique de centre O.
Le polynôme caractéristique de A est l
3
− 3l
2 + 4. Son spectre est {−1, 2}. Soit
(e 1 , e 2 , e 3 ) une base orthonormale de vecteurs propres. Dans le repère (O, e 1 , e 2 , e 3 )
la quadrique a pour équation : −X
2 + 2Z
2 + 2Y
2 = 1. Il faut bien réaliser qu’on n’a
pas besoin d’expliciter la base (e 1 , e 2 , e 3 ) pour obtenir cette expression. On reconnaît
un hyperboloïde à une nappe.
Exercice 10.6
Mines-Ponts PSI 2006
Reconnaître et réduire la quadrique d’équation :
2x
2 + 2y
2 + z
2 + 2xz − 2yz + 4x − 2y − z + 3 = 0.
La matrice de Q est donnée par A =
⎛
⎝
2
0
1
0
2 −1
1 −1
1
⎞
⎠ .
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