On note f et on appelle partie linéaire de Q, la forme linéaire sur R
3 définie par
f(x, y, z) = gx + hy + i z.
On a alors, en notant X le vecteur colonne X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ :
M(x, y, z) ∈ S ⇔ F(x, y, z) = 0 ⇔
t X AX + f(X ) + j = 0.
Pratique de la réduction
Première étape
On détermine le spectre de A. La matrice A étant symétrique réelle, elle est diagonalisable dans une base orthonormale. Dans la suite, on note (e 1 , e 2 , e 3 ) une
telle base et on note alors l 1 , l 2 et l 3 les valeurs propres respectivement associées à e 1 , e 2 et e 3 .
Deuxième étape
• rg A = 3.
◦ Remarquons tout d’abord que cette condition revient à « 0 n’appartient pas au
spectre de A ». Dans ce cas la quadrique Q admet un unique centre de symétrie
V et on dit que Q est à centre.
◦ Pour déterminer les coordonnées (x 0 , y 0 , z 0 ) de V, on peut utiliser le fait
qu’elles vérifient le système d’équations
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ F
∂x
(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0
∂ F
∂ y
(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0
∂ F
∂z
(x 0 , y 0 , z 0 ) = 0
.
Il est aussi utile de savoir que, dans le cas où la partie linéaire f est nulle, le
centre de la quadrique est O.
◦ Grâce aux formules x = x 0 +x
, y = y 0 + y
, z = z 0 +z
, on détermine l’équation
cartésienne de Q dans le repère R
= (V,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) obtenu par translation du
repère R = (O,
→
ı ,
→
j ,
− →
k ).
On obtient une équation de la forme :
ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx
y
+ 2ex
z
+ 2 f y
z
+ a = 0.
Enfin, sans avoir besoin d’expliciter les vecteurs e 1 , e 2 et e 3 , on sait que dans le
repère R
= (V, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique Q admet pour équation :
l 1 X
2 + l 2 Y
2 + l 3 Z
2 + a = 0.