de coordonnées (x, y, z) dans (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) appartient à P ∩ (H ) si et seulement
si z = 0 et
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = −1 ce qui est impossible. On a donc P ∩ (H ) = ∅.
6) Soit (E) un ellipsoïde. L’ensemble (E) est une partie bornée de l’espace et son
intersection avec un plan sera donc également bornée. Comme une parabole n’est
pas une partie bornée de l’espace, l’intersection d’un ellipsoïde et d’un plan ne
peut être une parabole.
7) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls avec c > 0 et un repère orthonormé
(O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ), tel que le paraboloïde elliptique (E) admet pour équation dans
ce repère
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 2
z
c
. On constate que (E) est inclus dans le demi-espace
z 0. Soit P un plan. Si le plan P est parallèle au plan z = 0, on montre
que son intersection avec H est une ellipse, sinon son intersection avec le demiespace z 0 est un demi-plan. Comme une hyperbole n’est jamais incluse dans
un demi-plan, l’intersection de H et P ne peut être une hyperbole. Dans tous les
cas l’intersection de P et (E) n’est jamais une hyperbole.
8) Il existe (a, b) un couple de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que le cylindre elliptique (E) admet pour équation dans ce repère
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1.
On va utiliser le fait que tout point de l’axe Oz est un centre de symétrie de (E).
Soit P un plan. Si P est parallèle à l’axe Oz on montre que son intersection avec
(E) est soit une droite, soit un couple de droites parallèles, soit vide. Si P n’est
pas parallèle à l’axe Oz, alors il rencontre cet axe en un centre de symétrie de (E).
Comme le plan P est lui même stable par cette symétrie centrale, l’intersection
de (E) et P admet un centre de symétrie. Or une parabole n’a pas de centre de
symétrie, ce qui montre que l’intersection de P et (E) n’est jamais une parabole.
10.1.2 Réduction des quadriques
Ce qu’il faut savoir
Notations et lien avec l’algèbre bilinéaire
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé R = (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Soit Q une
quadrique qui admet pour équation cartésienne dans le repère R :
ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j = 0.
On note A la matrice définie par A =
⎛
⎝
a d e
d b f
e f c
⎞
⎠ .
On définit la fonction F, qui à tout triplet (x, y, z) de R
3 , associe le réel
F(x, y, z) = ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
→
ı ,
→
j ,
→
k ) appartient à P ∩ (H ) si et seulement
si z = 0 et
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = −1 ce qui est impossible. On a donc P ∩ (H ) = ∅.
6) Soit (E) un ellipsoïde. L’ensemble (E) est une partie bornée de l’espace et son
intersection avec un plan sera donc également bornée. Comme une parabole n’est
pas une partie bornée de l’espace, l’intersection d’un ellipsoïde et d’un plan ne
peut être une parabole.
7) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls avec c > 0 et un repère orthonormé
(O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ), tel que le paraboloïde elliptique (E) admet pour équation dans
ce repère
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 2
z
c
. On constate que (E) est inclus dans le demi-espace
z 0. Soit P un plan. Si le plan P est parallèle au plan z = 0, on montre
que son intersection avec H est une ellipse, sinon son intersection avec le demiespace z 0 est un demi-plan. Comme une hyperbole n’est jamais incluse dans
un demi-plan, l’intersection de H et P ne peut être une hyperbole. Dans tous les
cas l’intersection de P et (E) n’est jamais une hyperbole.
8) Il existe (a, b) un couple de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que le cylindre elliptique (E) admet pour équation dans ce repère
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1.
On va utiliser le fait que tout point de l’axe Oz est un centre de symétrie de (E).
Soit P un plan. Si P est parallèle à l’axe Oz on montre que son intersection avec
(E) est soit une droite, soit un couple de droites parallèles, soit vide. Si P n’est
pas parallèle à l’axe Oz, alors il rencontre cet axe en un centre de symétrie de (E).
Comme le plan P est lui même stable par cette symétrie centrale, l’intersection
de (E) et P admet un centre de symétrie. Or une parabole n’a pas de centre de
symétrie, ce qui montre que l’intersection de P et (E) n’est jamais une parabole.
10.1.2 Réduction des quadriques
Ce qu’il faut savoir
Notations et lien avec l’algèbre bilinéaire
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé R = (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Soit Q une
quadrique qui admet pour équation cartésienne dans le repère R :
ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j = 0.
On note A la matrice définie par A =
⎛
⎝
a d e
d b f
e f c
⎞
⎠ .
On définit la fonction F, qui à tout triplet (x, y, z) de R
3 , associe le réel
F(x, y, z) = ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit