Chap. 10. Quadriques et coniques
1) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que le paraboloïde elliptique (S) admet dans ce repère une équation de la forme
x
2
a 2 +
y
2
b 2 − 2
z
c
= 0. Considérons le plan P d’équation x = 0. Le triplet (O,
→
j ,
→
k )
est un repère orthonormal de P. Soit M un point de P de coordonnées (X , Y )
dans (O,
→
j ,
→
k ). Ses coordonnées dans (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) sont (0, X , Y ). Le point
M appartient à P ∩ (S) si et seulement si
X
2
b 2 − 2
Y
c
= 0, c’est l’équation d’une
parabole dans P.
2) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que le cône (C) admet dans ce repère une équation de la forme
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = 0.
Considérons le plan P d’équation x = a avec a = 0. Soit V le point de P de
coordonnées (a, 0, 0). Le triplet (V,
→
j ,
→
k ) est un repère orthonormal de P. Soit
M un point de P de coordonnées (X , Y ) dans (V,
→
j ,
→
k ). Ses coordonnées dans
(O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) sont (a, X , Y ). Le point M appartient à P ∩ (C) si et seulement si
a
2
a 2 +
X
2
b 2 −
Y
2
c 2 = 0, c’est bien l’équation d’une hyperbole dans P.
3) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que l’hyperboloïde à une nappe (H ) admet dans ce repère une équation de la
forme
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = 1. Considérons le plan P d’équation z = 0.
Le triplet (O,, ı, , j) est un repère orthonormal de P. Soit M un point de P de
coordonnées (X , Y ) dans (O,, ı, , j). Ses coordonnées dans (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) sont
(X , Y , 0). Le point M appartient à P ∩ (H ) si et seulement si
X
2
a 2 +
Y
2
b 2 = 1, c’est
l’équation d’une ellipse dans P.
4) Il existe (a, p) un couple de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que le cylindre parabolique (S) admet dans ce repère une équation de la forme
x
2
a 2 = 2 py. Soit a un réel strictement positif. Considérons le plan P d’équation y = a. Soit V le point de P de coordonnées (0, a, 0). Le triplet (V,
→
ı ,
→
k )
est un repère orthonormal de P. Soit M un point de P de coordonnées (X , Y )
dans (V,
→
ı ,
→
k ). Ses coordonnées dans (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) sont (X , a, Y ). Le point
M appartient à P ∩ (S) si et seulement si
X
2
a 2 = 2 pa. Comme a est strictement
positif c’est l’équation d’un couple de droites parallèles dans P.
5) Il existe (a, b, c) un triplet de réels non nuls et un repère orthonormé (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ),
tel que l’hyperboloïde à deux nappes (H ) admet dans ce repère une équation de la
forme
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = −1. Considérons le plan P d’équation z = 0. Un point M