Exercice 10.2
Indiquer des éléments de symétrie des quadriques à centre.
On se place dans un repère orthonormé Ox yz où elles admettent une équation
réduite. Elles admettent toute l’origine pour centre de symétrie ; les axes Ox, Oy et
Oz pour axes de symétrie, et les plans x Oy, y Oz et zOx pour plans de symétrie.
Exercice 10.3
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. (0,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Discuter suivant a
dans R la nature de la quadrique (S) d’équation X
2 + aY
2 + Z
2 = a
◦ Lorsque a > 0, la quadrique (S) est un ellipsoïde.
◦ Lorsque a = 0, la quadrique (S) est une droite.
◦ Lorsque a < 0, la quadrique (S) est un hyperboloïde à deux nappes.
L’exercice suivant doit vous permettre de vous entraîner à visualiser les quadriques.
On essaiera de bien se représenter les intersections proposées avant de justifier sa
réponse.
Exercice 10.4
Intersection d’une quadrique et d’un plan
On se placera bien sûr dans un repère où la quadrique proposée admet une équation réduite.
1) Donner un plan dont l’intersection avec un paraboloïde elliptique est une parabole.
2) Donner un plan dont l’intersection avec un cône est une hyperbole.
3) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un hyperboloïde à une nappe peut être
une ellipse ?
4) Donner un plan dont l’intersection avec un cylindre parabolique est la réunion
de deux droites parallèles.
5) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un hyperboloïde à deux nappes peut
être vide ?
6) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un ellipsoïde peut être une parabole ?
7) Est-ce que l’intersection d’un plan avec un paraboloïde elliptique peut être
une hyperbole ?
8) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un cylindre elliptique peut être une
parabole ?
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Indiquer des éléments de symétrie des quadriques à centre.
On se place dans un repère orthonormé Ox yz où elles admettent une équation
réduite. Elles admettent toute l’origine pour centre de symétrie ; les axes Ox, Oy et
Oz pour axes de symétrie, et les plans x Oy, y Oz et zOx pour plans de symétrie.
Exercice 10.3
L’espace est rapporté à un repère orthonormal. (0,
→
ı ,
→
j ,
→
k ). Discuter suivant a
dans R la nature de la quadrique (S) d’équation X
2 + aY
2 + Z
2 = a
◦ Lorsque a > 0, la quadrique (S) est un ellipsoïde.
◦ Lorsque a = 0, la quadrique (S) est une droite.
◦ Lorsque a < 0, la quadrique (S) est un hyperboloïde à deux nappes.
L’exercice suivant doit vous permettre de vous entraîner à visualiser les quadriques.
On essaiera de bien se représenter les intersections proposées avant de justifier sa
réponse.
Exercice 10.4
Intersection d’une quadrique et d’un plan
On se placera bien sûr dans un repère où la quadrique proposée admet une équation réduite.
1) Donner un plan dont l’intersection avec un paraboloïde elliptique est une parabole.
2) Donner un plan dont l’intersection avec un cône est une hyperbole.
3) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un hyperboloïde à une nappe peut être
une ellipse ?
4) Donner un plan dont l’intersection avec un cylindre parabolique est la réunion
de deux droites parallèles.
5) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un hyperboloïde à deux nappes peut
être vide ?
6) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un ellipsoïde peut être une parabole ?
7) Est-ce que l’intersection d’un plan avec un paraboloïde elliptique peut être
une hyperbole ?
8) Est-ce que l’intersection d’un plan et d’un cylindre elliptique peut être une
parabole ?
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