Considérons la matrice A =
16 −12
−12
9
.
Son polynôme caractéristique est l
2
− 25l. Le spectre de A est {25, 0}. On en
déduit que (C) est une conique du genre parabole. Les vecteurs propres de A permettent de construire une base orthonormale (e 1 , e 2 ) de R
2 . On obtient par exemple
e 1 =
−
4
5
,
3
5
et e 2 =
3
5
,
4
5
. Dans le repère (O, e 1 , e 2 ) la courbe (C) a pour
équation 25X
2
−
136
5
X −
23
5
Y = 0. On peut mettre sous forme canonique le terme de
gauche de cette égalité et obtenir comme équation 25
X −
68
125
2
−
23
5
Y =
4624
625
.
La courbe (C) est une parabole.
10.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
10.2.1 Quadriques
Exercice 10.8
Centrale PC 2006
On munit R
3 de son repère orthonormal canonique. Caractériser la surface
d’équation y
2 + x y − xz − yz − 3x − 5y − 3 = 0.
La matrice de Q est donnée par A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
2
−
1
2
1
2
1 −
1
2
−
1
2
−
1
2
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Son polynôme caractéristique est −l
3 + l
2 +
3
4
l et on a Sp(A) =
0,
3
2
, −
1
2
.
Comme la matrice de A n’est pas de rang 3, on explicite une base orthonormale de
vecteurs propres. On obtient par exemple :
e 1 =
−
√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
, e 2 =
−
√
6
6
, −
√
6
3
,
√
6
6
, e 3 =
√
2
2
, 0,
√
2
2
.
Dans le repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation :
3
2
Y
2
−
1
2
Z
2
−
2
3
√
3X +
13
6
√
6Y −
3
2
√
2Z − 3 = 0.
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