Quadriques et coniques 10
10.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
10.1.1 Classification des quadriques
Ce qu’il faut savoir
On se place dans un espace affine euclidien E 3 de dimension trois.
• On appelle quadrique un ensemble Q de points de E 3 vérifiant la condition :
il existe un repère orthonormal R = (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) et des réels a, b, c, d, e, f ,
g, h, i, j avec (a, b, c, d, e, f ) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) tels que S admet dans R une
équation cartésienne de la forme :
ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j = 0.
On note A la matrice définie par
A =
⎛
⎝
a d e
d b f
e f c
⎞
⎠ .
Si Q est une quadrique, alors dans tout repère orthonormal, Q admet une équation
cartésienne de la forme proposée ci-dessus. Il suffit d’appliquer les formules de
changements de base pour s’en rendre compte, mais selon le repère choisi, l’équation cartésienne de Q est plus ou moins simple. On montre que les différentes
situations possibles sont celles résumées dans les tableaux des pages suivantes.
Remarques mnémotechniques sur les tableaux suivants
• Le nom d’une quadrique est lié à la nature de son intersection avec les plans
d’équation x = 0, y = 0, z = 0 dans le repère où elle admet une équation
réduite. Lorsque deux de ces intersections sont de même nature, on utilise un
terme en « oïde » qui décrit la nature commune de ces deux intersections, le terme
en « ique » décrit alors la nature de la troisième intersection. Ainsi on doit s’attendre à ce que l’intersection d’un paraboloïde hyperbolique avec deux de ces
plans soit une parabole et que la troisième de ces intersections soit une hyperbole.
• Lorsque le nom d’une quadrique contient les termes paraboloïdes ou cylindre le
rang de sa matrice associé perd une unité.
10.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
10.1.1 Classification des quadriques
Ce qu’il faut savoir
On se place dans un espace affine euclidien E 3 de dimension trois.
• On appelle quadrique un ensemble Q de points de E 3 vérifiant la condition :
il existe un repère orthonormal R = (O,
→
ı ,
→
j ,
→
k ) et des réels a, b, c, d, e, f ,
g, h, i, j avec (a, b, c, d, e, f ) = (0, 0, 0, 0, 0, 0) tels que S admet dans R une
équation cartésienne de la forme :
ax
2 + by
2 + cz
2 + 2dx y + 2ex z + 2 f yz + gx + hy + i z + j = 0.
On note A la matrice définie par
A =
⎛
⎝
a d e
d b f
e f c
⎞
⎠ .
Si Q est une quadrique, alors dans tout repère orthonormal, Q admet une équation
cartésienne de la forme proposée ci-dessus. Il suffit d’appliquer les formules de
changements de base pour s’en rendre compte, mais selon le repère choisi, l’équation cartésienne de Q est plus ou moins simple. On montre que les différentes
situations possibles sont celles résumées dans les tableaux des pages suivantes.
Remarques mnémotechniques sur les tableaux suivants
• Le nom d’une quadrique est lié à la nature de son intersection avec les plans
d’équation x = 0, y = 0, z = 0 dans le repère où elle admet une équation
réduite. Lorsque deux de ces intersections sont de même nature, on utilise un
terme en « oïde » qui décrit la nature commune de ces deux intersections, le terme
en « ique » décrit alors la nature de la troisième intersection. Ainsi on doit s’attendre à ce que l’intersection d’un paraboloïde hyperbolique avec deux de ces
plans soit une parabole et que la troisième de ces intersections soit une hyperbole.
• Lorsque le nom d’une quadrique contient les termes paraboloïdes ou cylindre le
rang de sa matrice associé perd une unité.