Chap. 9. Espaces euclidiens
Si B ∈ S
++
n , il existe P ∈ O n (R) et l 1 , . . . , l n strictement positifs tels que
P
−1 B P = diag(l 1 , . . . , l n ). On pose alors A = P diag(ln l 1 , . . . , ln l n )P
−1 et
on vérifie facilement que A ∈ S n (R) et exp A = B.
Ce dernier exercice propose une démonstration de la décomposition polaire basée
sur le calcul différentiel.
Exercice 9.69
ENS MP 2007, autre preuve de la décomposition polaire
1) Montrer que l’application (M, N ) → →M, N = tr(
t
M N ) est un produit scalaire sur M n (R).
2) Montrer que O n (R) est un compact de M n (R).
3) Soit A ∈ M n (R). Déterminer la différentielle en 0 de l’application
M → →A − exp M
2 .
4) Soit A ∈ M n (R). On suppose que ∀V ∈ O n (R), I n − A V − A.
Montrer que A ∈ S n (R).
5) Soit A ∈ M n (R). Etablir l’existence de U ∈ O n (R) et de S ∈ S n (R) telles
que A = U S.
1) Question de cours.
2) O n (R) est fermé borné donc compact (voir exercice 9.46 page 273).
3) On pose f (M) = A − exp M et w(M) = f (M), f (M). On sait que
exp H = I n + H +
∞
k=2
H
k
k!
, donc exp H = I n + H + o(H ) quand H tend vers 0. Il
en résulte que d(exp)(0)(H ) = H , donc que d f (0)(H ) = −H . Comme le produit
scalaire est bilinéaire, on en déduit que dw(M)(H ) = 2 f (M), d f (M)(H ), donc
dw(0)(H ) = 2A − I n , −H = 2I n − A, H .
4) On sait que si M est une matrice antisymétrique, alors exp M est orthogonale,
donc ∀M ∈ A n (R), A − I n
2
A − exp M
2 . On en déduit que l’application
w restreinte au sous-espace vectoriel A n (R) admet un minimum absolu en 0, donc
sa différentielle restreinte à ce sous-espace est nulle en 0. Par conséquent, on a
∀H ∈ A n (R), I n − A, H = 0, donc I n − A appartient à l’orthogonal de A n (R),
qui est égal à S n (R), donc la matrice A est symétrique.
5) Comme O n (R) est compact, la distance de A à O n (R) est atteinte, donc il
existe U ∈ O n (R) tel que ∀P ∈ O n (R), U − A P − A. On pose
V = U
−1 P. Comme O n (R) est un groupe, quand P décrit O n (R), V également,
donc on a aussi ∀V ∈ O n (R), U (I n − U
−1 A) U (V − U
−1 A). Or
si U ∈ O n (R), alors ∀M ∈ M n (R), U M
2 = tr(
t
M
t
UU M) = M
2 , donc
∀V ∈ O n (R), I n −U
−1 A V−U
−1 A. On déduit de la question précédente
que la matrice S = U
−1 A est symétrique, d’où l’écriture A = U S demandée.
Si B ∈ S
++
n , il existe P ∈ O n (R) et l 1 , . . . , l n strictement positifs tels que
P
−1 B P = diag(l 1 , . . . , l n ). On pose alors A = P diag(ln l 1 , . . . , ln l n )P
−1 et
on vérifie facilement que A ∈ S n (R) et exp A = B.
Ce dernier exercice propose une démonstration de la décomposition polaire basée
sur le calcul différentiel.
Exercice 9.69
ENS MP 2007, autre preuve de la décomposition polaire
1) Montrer que l’application (M, N ) → →M, N = tr(
t
M N ) est un produit scalaire sur M n (R).
2) Montrer que O n (R) est un compact de M n (R).
3) Soit A ∈ M n (R). Déterminer la différentielle en 0 de l’application
M → →A − exp M
2 .
4) Soit A ∈ M n (R). On suppose que ∀V ∈ O n (R), I n − A V − A.
Montrer que A ∈ S n (R).
5) Soit A ∈ M n (R). Etablir l’existence de U ∈ O n (R) et de S ∈ S n (R) telles
que A = U S.
1) Question de cours.
2) O n (R) est fermé borné donc compact (voir exercice 9.46 page 273).
3) On pose f (M) = A − exp M et w(M) = f (M), f (M). On sait que
exp H = I n + H +
∞
k=2
H
k
k!
, donc exp H = I n + H + o(H ) quand H tend vers 0. Il
en résulte que d(exp)(0)(H ) = H , donc que d f (0)(H ) = −H . Comme le produit
scalaire est bilinéaire, on en déduit que dw(M)(H ) = 2 f (M), d f (M)(H ), donc
dw(0)(H ) = 2A − I n , −H = 2I n − A, H .
4) On sait que si M est une matrice antisymétrique, alors exp M est orthogonale,
donc ∀M ∈ A n (R), A − I n
2
A − exp M
2 . On en déduit que l’application
w restreinte au sous-espace vectoriel A n (R) admet un minimum absolu en 0, donc
sa différentielle restreinte à ce sous-espace est nulle en 0. Par conséquent, on a
∀H ∈ A n (R), I n − A, H = 0, donc I n − A appartient à l’orthogonal de A n (R),
qui est égal à S n (R), donc la matrice A est symétrique.
5) Comme O n (R) est compact, la distance de A à O n (R) est atteinte, donc il
existe U ∈ O n (R) tel que ∀P ∈ O n (R), U − A P − A. On pose
V = U
−1 P. Comme O n (R) est un groupe, quand P décrit O n (R), V également,
donc on a aussi ∀V ∈ O n (R), U (I n − U
−1 A) U (V − U
−1 A). Or
si U ∈ O n (R), alors ∀M ∈ M n (R), U M
2 = tr(
t
M
t
UU M) = M
2 , donc
∀V ∈ O n (R), I n −U
−1 A V−U
−1 A. On déduit de la question précédente
que la matrice S = U
−1 A est symétrique, d’où l’écriture A = U S demandée.