d’où y = −−x
2 + u
∗ (u(x))
2 . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
(u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x))) = (u(x) | u ◦ u
∗
◦ u(x)) u(x) u ◦ u
∗
◦ u(x) .
On sait que Im u
∗ = (Ker u)
⊥ donc pour tout z, on a u(u
∗ (z)) = u
∗ (z).
On en déduit que (u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x))) x u
∗ (u(x)), ce qui donne en
simplifiant u
∗ (u(x)) x. Il en résulte que y 0, ce qui entraîne que
y = 0, d’où x − u
∗ (u(x)) = 0.
On a montré que les endomorphismes u ◦ u
∗
◦ u et u coïncident sur Ker u et
(Ker u)
⊥ . On en déduit qu’ils sont égaux, ce qui prouve que u ∈ A.
L’exercice suivant suppose connues les propriétés classiques de l’exponentielle de
matrices.
Exercice 9.68
Polytechnique, ENS MP 2007 Ã
1) Soit A ∈ M n (R) antisymétrique. Montrer que exp A appartient à SO n (R).
2) Soit A ∈ S n (R). Montrer que exp A ∈ S
++
n .
3) Soient A et B appartenant à S n (R) telles que exp A = exp B. Montrer que
A = B.
4) Démontrer que l’application A → exp A est une bijection de S n (R) dans S
++
n .
1) Comme
t A = −A, on a
t
(exp A) exp A = exp(
t A) exp A = exp(−A) exp A.
Comme A et −A commutent, on en déduit que
t
(exp A) exp A = exp(−A+A) = I n ,
d’où exp A ∈ O n (R). De plus, det(exp A) = e
tr A , or tr A = 0, d’où det(exp A) = 1,
d’où A ∈ SO n (R).
2) Par le théorème fondamental, il existe P ∈ O n (R) et des réels l 1 , . . . , l n tels
que P
−1 AP = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Or exp(P
−1 AP) = P
−1 (exp A)P, d’où
P
−1 (exp A)P = diag(e
l 1 , . . . , e
l n ). Or e
l k > 0 pour tout k, donc la matrice exp A
est diagonalisable en base orthonormale à valeurs propres strictement positives,
d’où exp A ∈ S
++
n .
3) On raisonne sur les endomorphismes en procédant comme pour la racine carrée
dans S
+ (E) (voir exercice 9.41 page 271) :
• Soient u autoadjoint et l un réel. Alors Ker(u − l Id E ) = Ker(exp u − e
l Id E ).
• Soient u et v autoadjoints tels que exp u = exp v. Pour toute valeur propre l de
u, on a :
Ker(u − l Id E ) = Ker(exp u − e
l Id E ) = Ker(exp v − e
l Id E ) = Ker(u − l Id E ),
donc u et v coïncident sur chaque espace propre de u. Comme u est diagonalisable, on en déduit que u = v.
4) D’après les deux questions précédentes, l’application exponentielle est injective
de S n (R) à valeurs dans S
++
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 + u
∗ (u(x))
2 . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
(u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x))) = (u(x) | u ◦ u
∗
◦ u(x)) u(x) u ◦ u
∗
◦ u(x) .
On sait que Im u
∗ = (Ker u)
⊥ donc pour tout z, on a u(u
∗ (z)) = u
∗ (z).
On en déduit que (u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x))) x u
∗ (u(x)), ce qui donne en
simplifiant u
∗ (u(x)) x. Il en résulte que y 0, ce qui entraîne que
y = 0, d’où x − u
∗ (u(x)) = 0.
On a montré que les endomorphismes u ◦ u
∗
◦ u et u coïncident sur Ker u et
(Ker u)
⊥ . On en déduit qu’ils sont égaux, ce qui prouve que u ∈ A.
L’exercice suivant suppose connues les propriétés classiques de l’exponentielle de
matrices.
Exercice 9.68
Polytechnique, ENS MP 2007 Ã
1) Soit A ∈ M n (R) antisymétrique. Montrer que exp A appartient à SO n (R).
2) Soit A ∈ S n (R). Montrer que exp A ∈ S
++
n .
3) Soient A et B appartenant à S n (R) telles que exp A = exp B. Montrer que
A = B.
4) Démontrer que l’application A → exp A est une bijection de S n (R) dans S
++
n .
1) Comme
t A = −A, on a
t
(exp A) exp A = exp(
t A) exp A = exp(−A) exp A.
Comme A et −A commutent, on en déduit que
t
(exp A) exp A = exp(−A+A) = I n ,
d’où exp A ∈ O n (R). De plus, det(exp A) = e
tr A , or tr A = 0, d’où det(exp A) = 1,
d’où A ∈ SO n (R).
2) Par le théorème fondamental, il existe P ∈ O n (R) et des réels l 1 , . . . , l n tels
que P
−1 AP = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Or exp(P
−1 AP) = P
−1 (exp A)P, d’où
P
−1 (exp A)P = diag(e
l 1 , . . . , e
l n ). Or e
l k > 0 pour tout k, donc la matrice exp A
est diagonalisable en base orthonormale à valeurs propres strictement positives,
d’où exp A ∈ S
++
n .
3) On raisonne sur les endomorphismes en procédant comme pour la racine carrée
dans S
+ (E) (voir exercice 9.41 page 271) :
• Soient u autoadjoint et l un réel. Alors Ker(u − l Id E ) = Ker(exp u − e
l Id E ).
• Soient u et v autoadjoints tels que exp u = exp v. Pour toute valeur propre l de
u, on a :
Ker(u − l Id E ) = Ker(exp u − e
l Id E ) = Ker(exp v − e
l Id E ) = Ker(u − l Id E ),
donc u et v coïncident sur chaque espace propre de u. Comme u est diagonalisable, on en déduit que u = v.
4) D’après les deux questions précédentes, l’application exponentielle est injective
de S n (R) à valeurs dans S
++
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit