Chap. 9. Espaces euclidiens
tr(us) =
n
j=1
u j j l j . Comme U est une matrice orthogonale, |u j j | 1 pour tout j,
donc tr(us)
n
j=1
l j = tr s. Or Id E ∈ O(E), donc sup{tr(us) | u ∈ O(E)} = tr s.
2) On utilise la décomposition polaire de f (voir exercice 9.46 page 273) : il existe
deux endomorphismes s symétrique défini positif et v orthogonal tels que f = vs.
Comme O(E) est un groupe, l’application u → uv est une bijection de O(E) sur
lui-même, donc on a :
sup{tr(u f ) | u ∈ O(E)} = sup{tr(u
s) | u
∈ O(E)} = tr s = tr(
f ∗ f ) .
Exercice 9.67
Centrale MP 2005 Ã
Soit A = {u ∈ L(E) | u ◦ u
∗
◦ u = u}.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) u ∈ A.
(ii) u ◦ u
∗ est un projecteur orthogonal.
(iii) u
∗
◦ u est un projecteur orthogonal.
(iv) (Ker u)
⊥ = {x ∈ E | |u(x) = x}.
(i)⇒(ii) On a (u ◦ u
∗ )
2 = u ◦ u
∗
◦ u ◦ u
∗ = u ◦ u
∗ , donc u ◦ u
∗ est un projecteur.
D’autre part, u ◦ u
∗ est autoadjoint, donc c’est un projecteur orthogonal.
(ii)⇒(iii) L’endomorphisme v = u
∗
◦ u est autoadjoint et on a :
v
3 = u
∗
◦ (u ◦ u
∗ )
2
◦ u = u
∗
◦ u ◦ u
∗
◦ u = v
2 .
Les valeurs propres de v vérifient l
3 = l
2 , donc sont égales à 0 ou 1, or v est
diagonalisable, donc v
2 = v, c’est-à-dire que v est aussi un projecteur orthogonal.
(iii)⇒(iv) On sait que Ker(u
∗
◦ u) = Ker u et Im(u
∗
◦ u) = (Ker u)
⊥ = Im u
∗ .
◦ Si x ∈ (Ker u)
⊥ , alors (u
∗
◦ u)(x) = x d’où u(x)
2 = (x | u
∗ (u(x))) = x
2 .
◦ Supposons u(x) = x. On pose y = x − u
∗ (u(x))
2 . On a :
y = (x | x) − 2(x | u
∗ (u(x))) + (u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x)))
= −(x | x) + ((u
∗
◦ u)
2 (x) | x) = −(x | x) + ((u
∗ (u(x)) | x) = 0.
On en déduit que x = u
∗ (u(x)), d’où x ∈ Im(u
∗
◦ u) = (Ker u)
⊥ .
(iv)⇒(i) Démontrons que u ◦ u
∗
◦ u et u coïncident sur Ker u et (Ker u)
⊥ .
◦ Si x ∈ Ker u, alors u(x) = 0 et (u ◦ u
∗
◦ u)(x) = 0.
◦ Démontrons que u
∗
◦ u| (Ker u) ⊥ = Id.
Soit x ∈ (Ker u)
⊥ . Par hypothèse, u(x) = x.
Posons de nouveau y = x − u
∗ (u(x))
2 . En développant, on a :
y = (x | x) − 2(u(x) | u(x)) + (u
∗ (u(x)) | u
∗ (u(x))),