1) On remarque d’abord que O n (R) est inclus dans B
. Supposons qu’il existe A et
B dans B
et t ∈ ] 0, 1 [ tels que M = (1 − t) A + t B. Pour tout x ∈ R
n , on a
x = M x (1 − t) Ax + tBx (1 − t)x + tx = x. On retrouve
la même valeur des deux côtés de l’inégalité, donc Ax = x et Bx = x
pour tout x, donc A et B appartiennent à O n (R). De plus, on se trouve dans le cas
où l’inégalité triangulaire est une égalité, donc les vecteurs (1 − t)Ax et t Bx sont
colinéaires dans le même sens pour tout x, autrement dit B
−1 Ax est colinéaire à
x dans le même sens pour tout x ∈ R
n . D’après un résultat classique d’algèbre
linéaire (voir l’exercice 3.40 page 88), il existe un réel l > 0 tel que B
−1 A = lI n ,
d’où A = lB, or A et B sont orthogonales, donc l = 1, c’est-à-dire A = B. On
a bien montré que M est un point extrêmal de B
.
2) Soit M un point extrêmal de B
. On utilise la décomposition polaire (voir exercice 9.46 page 273 : il existe U ∈ O n (R) et S ∈ S
+
n telles que M = U S. Par
le théorème spectral, il existe P ∈ O n (R) et des réels positifs l 1 , . . . , l n tels
que P
−1 S P = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Comme M ∈ B
, on a ∀X ∈ R
n ,
t
(M X)M X
t X X, d’où
t
(S X)S X
t X X, d’où en posant X = PY ,
t
(DY )DY
t
Y Y pour tout Y ∈ R
n , ce qui se traduit par l i 1 pour tout
i ∈ [[1 , n]].
Supposons par exemple l 1 < 1. Posons d =
1
2
min(l 1 , 1 − l 1 ). On a alors
0 < l 1 − d < l 1 + d < 1. Posons S 1 = P diag(l 1 − d, l 2 , . . . , l n )P
−1 et
S 2 = P diag(l 1 + d, l 2 , . . . , l n )P
−1 . Les matrices S 1 et S 2 sont symétriques
définies positives et appartiennent à B
car leurs valeurs propres sont comprises entre 0 et 1, donc les matrices U S 1 et U S 2 appartiennent à B
et on a
1
2
U S 1 +
1
2
U S 2 = U P D P
−1 = M. Or S 1 = S 2 donc M = U S 1 et de même
M = U S 2 , donc M n’est pas un point extrêmal de B
. On en déduit que l 1 = 1
et de façon analogue, l i = 1 pour tout i, donc S = I n , c’est-à-dire M ∈ O n (R).
Exercice 9.66
Centrale MP 2005 Ã
1) Soit s un endomorphisme symétrique défini positif de E. Calculer
sup{tr(us) | u ∈ O(E)} .
2) Soit f un endomorphisme de E. Calculer
sup{tr(u f ) | u ∈ O(E)} .
Indication de la rédaction : utiliser la décomposition polaire de f .
1) Plaçons nous dans une base orthonormale de vecteurs propres de s, et notons
l 1 , . . . , l n les valeurs propres (strictement positives) associées. Pour u ∈ O(E),
on note U = (u i j ) 1i, jn la matrice de u dans cette base ce qui donne
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
. Supposons qu’il existe A et
B dans B
et t ∈ ] 0, 1 [ tels que M = (1 − t) A + t B. Pour tout x ∈ R
n , on a
x = M x (1 − t) Ax + tBx (1 − t)x + tx = x. On retrouve
la même valeur des deux côtés de l’inégalité, donc Ax = x et Bx = x
pour tout x, donc A et B appartiennent à O n (R). De plus, on se trouve dans le cas
où l’inégalité triangulaire est une égalité, donc les vecteurs (1 − t)Ax et t Bx sont
colinéaires dans le même sens pour tout x, autrement dit B
−1 Ax est colinéaire à
x dans le même sens pour tout x ∈ R
n . D’après un résultat classique d’algèbre
linéaire (voir l’exercice 3.40 page 88), il existe un réel l > 0 tel que B
−1 A = lI n ,
d’où A = lB, or A et B sont orthogonales, donc l = 1, c’est-à-dire A = B. On
a bien montré que M est un point extrêmal de B
.
2) Soit M un point extrêmal de B
. On utilise la décomposition polaire (voir exercice 9.46 page 273 : il existe U ∈ O n (R) et S ∈ S
+
n telles que M = U S. Par
le théorème spectral, il existe P ∈ O n (R) et des réels positifs l 1 , . . . , l n tels
que P
−1 S P = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Comme M ∈ B
, on a ∀X ∈ R
n ,
t
(M X)M X
t X X, d’où
t
(S X)S X
t X X, d’où en posant X = PY ,
t
(DY )DY
t
Y Y pour tout Y ∈ R
n , ce qui se traduit par l i 1 pour tout
i ∈ [[1 , n]].
Supposons par exemple l 1 < 1. Posons d =
1
2
min(l 1 , 1 − l 1 ). On a alors
0 < l 1 − d < l 1 + d < 1. Posons S 1 = P diag(l 1 − d, l 2 , . . . , l n )P
−1 et
S 2 = P diag(l 1 + d, l 2 , . . . , l n )P
−1 . Les matrices S 1 et S 2 sont symétriques
définies positives et appartiennent à B
car leurs valeurs propres sont comprises entre 0 et 1, donc les matrices U S 1 et U S 2 appartiennent à B
et on a
1
2
U S 1 +
1
2
U S 2 = U P D P
−1 = M. Or S 1 = S 2 donc M = U S 1 et de même
M = U S 2 , donc M n’est pas un point extrêmal de B
. On en déduit que l 1 = 1
et de façon analogue, l i = 1 pour tout i, donc S = I n , c’est-à-dire M ∈ O n (R).
Exercice 9.66
Centrale MP 2005 Ã
1) Soit s un endomorphisme symétrique défini positif de E. Calculer
sup{tr(us) | u ∈ O(E)} .
2) Soit f un endomorphisme de E. Calculer
sup{tr(u f ) | u ∈ O(E)} .
Indication de la rédaction : utiliser la décomposition polaire de f .
1) Plaçons nous dans une base orthonormale de vecteurs propres de s, et notons
l 1 , . . . , l n les valeurs propres (strictement positives) associées. Pour u ∈ O(E),
on note U = (u i j ) 1i, jn la matrice de u dans cette base ce qui donne
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit