Chap. 9. Espaces euclidiens
réelle, les vecteurs e et h(e) sont non colinéaires, donc P est un plan stable par
h et la matrice de h| P dans la base (e, h(e)) est égale à J =
0 −1
1
0
. D’après
1), P
⊥ est stable par h. Soit G = P
⊥ . Si G = {0}, alors on peut recommencer
le même raisonnement avec h| G . Finalement, on en déduit qu’il existe une base
orthonormale de R
7 dans laquelle la matrice de f est constituée de 1, 2 ou 3 blocs
diagonaux égaux à A =
√
3
2
J +
1
2
I 2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ (selon que f est de rang
2, 4 ou 6), tous les autres coefficients étant nuls.
Exercice 9.63
Réduction des endomorphismes orthogonaux, Centrale MP 2006
On pose R(u) =
cos u − sin u
sin u cos u
. Soit u un automorphisme orthogonal de E.
On veut prouver que u vérifie la propriété suivante :
Il existe une base orthonormale de E où la matrice de u est de la forme
Diag(D, R(u 1 ), . . . , R(u p )) où D est diagonale à coefficients diagonaux égaux à
1 ou −1, et où u i ∈]0, p[.
1) Que dire des valeurs propres de u dans R ?
2) Soit x un vecteur propre de u + u
∗ . On pose P =Vect(x, u(x)). Montrer que
P et P
⊥ sont stables par u.
3) Montrer que u vérifie la propriété demandée (on pourra procéder par récurrence sur la dimension de E).
4) Applications :
• Montrer que tout endomorphisme orthogonal de E est le produit de deux
symétries orthogonales.
• (Centrale MP 2007) Trouver les matrices de O n (R) diagonalisables sur R.
1) Soit l une valeur propre réelle de u, il existe un vecteur x non nul tel que
u(x) = lx. Or u(x) = x, d’où l = ±1.
2) Notons l la valeur propre associé à x. On a u(x) + u
∗ (x) = lx, or u
∗ = u
−1 , d’où
en composant par u, on obtient u
2 (x) = lu(x) − x, ce qui prouve que P est stable
par u. Comme u est inversible, les sous-espaces P et u(P) sont de même dimension, donc P = u(P). En composant par u
−1 , on obtient également u
∗ (P) = P,
donc P est stable par u
∗ . Comme P est stable par u et par u
∗ , on en déduit que
P
⊥ est stable par u
∗ et par (u
∗ )
∗ = u.
réelle, les vecteurs e et h(e) sont non colinéaires, donc P est un plan stable par
h et la matrice de h| P dans la base (e, h(e)) est égale à J =
0 −1
1
0
. D’après
1), P
⊥ est stable par h. Soit G = P
⊥ . Si G = {0}, alors on peut recommencer
le même raisonnement avec h| G . Finalement, on en déduit qu’il existe une base
orthonormale de R
7 dans laquelle la matrice de f est constituée de 1, 2 ou 3 blocs
diagonaux égaux à A =
√
3
2
J +
1
2
I 2 =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
2
−
√
3
2
√
3
2
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠ (selon que f est de rang
2, 4 ou 6), tous les autres coefficients étant nuls.
Exercice 9.63
Réduction des endomorphismes orthogonaux, Centrale MP 2006
On pose R(u) =
cos u − sin u
sin u cos u
. Soit u un automorphisme orthogonal de E.
On veut prouver que u vérifie la propriété suivante :
Il existe une base orthonormale de E où la matrice de u est de la forme
Diag(D, R(u 1 ), . . . , R(u p )) où D est diagonale à coefficients diagonaux égaux à
1 ou −1, et où u i ∈]0, p[.
1) Que dire des valeurs propres de u dans R ?
2) Soit x un vecteur propre de u + u
∗ . On pose P =Vect(x, u(x)). Montrer que
P et P
⊥ sont stables par u.
3) Montrer que u vérifie la propriété demandée (on pourra procéder par récurrence sur la dimension de E).
4) Applications :
• Montrer que tout endomorphisme orthogonal de E est le produit de deux
symétries orthogonales.
• (Centrale MP 2007) Trouver les matrices de O n (R) diagonalisables sur R.
1) Soit l une valeur propre réelle de u, il existe un vecteur x non nul tel que
u(x) = lx. Or u(x) = x, d’où l = ±1.
2) Notons l la valeur propre associé à x. On a u(x) + u
∗ (x) = lx, or u
∗ = u
−1 , d’où
en composant par u, on obtient u
2 (x) = lu(x) − x, ce qui prouve que P est stable
par u. Comme u est inversible, les sous-espaces P et u(P) sont de même dimension, donc P = u(P). En composant par u
−1 , on obtient également u
∗ (P) = P,
donc P est stable par u
∗ . Comme P est stable par u et par u
∗ , on en déduit que
P
⊥ est stable par u
∗ et par (u
∗ )
∗ = u.