3) L’isomorphisme précédent conserve le déterminant, donc G est isomorphe à un
sous-groupe fini de SO 2 (R), sous-groupe des rotations, c’est-à-dire à un sousgroupe multiplicatif G
de U = {z ∈ C | |z| = 1}. Soit k le cardinal de G.
Par le théorème de Lagrange, on a ∀z ∈ G
, z
k = 1, donc G
est inclus dans le
sous-groupe U k des racines k
ièmes de l’unité dans C, qui est également de cardinal
k, d’où G
= U k . Comme U k est cyclique, engendré par e
2ip/k , on conclut que G
est cyclique.
9.3.1 Endomorphismes commutant avec leur adjoint
Exercice 9.62
Mines-Ponts MP 2007
1) Question de la rédaction : Soit g ∈ L(E) tel que g ◦ g
∗ = g
∗
◦ g. Montrer
que si F est un sous-espace de E stable par g, alors F
⊥ est également stable
par g.
2) Que dire de f ∈ L(R
7 ) telle que f
3
− f
2 + f = 0 et f
∗
◦ f = f ◦ f
∗ ?
1) Soit M la matrice de g dans une base orthonormale B adaptée à la décomposition de E en F ⊕ F
⊥ . Comme g(F) ⊂ F, M s’écrit sous la forme
A B
0 C
où A représente la matrice de f | F dans la partie de B contenant les vecteurs de F. Comme f commute avec f
∗ , on a
t
M M = M
t
M, c’est-à-dire
t A 0
t B
t
C
A B
0 C
=
A B
0 C
t A O
t B
t
C
. En identifiant les blocs supérieurs
gauches, on obtient
t A A = A
t A + B
t B. Comme la trace de
t A A est égale à celle
de A
t A, on en déduit que tr(B
t
B) = 0, donc la somme des carrés de tous les
coefficients de B est nulle, donc B = 0, ce qui signifie exactement que F
⊥ est
stable par f .
Remarque
Ce lemme est très utile dans l’étude des endomorphismes commutant avec leur
adjoint.
2) On sait que Im f = Im( f ◦ f
∗ ), donc Im f = Im( f
∗
◦ f ) = Ker( f
∗
◦ f )
⊥ car
f
∗
◦ f est autoadjoint, or Ker f = Ker( f
∗
◦ f ), donc Im f = (Ker f )
⊥ .
Par le lemme des noyaux, R
7 = Ker f ⊕ F, avec F = Ker( f
2
− f + Id). Si
x ∈ F, alors x = f (x − f (x)), donc x ∈ Im f . Comme dim F = dim (Im f ) par
théorème du rang, on en déduit que Im f = F. Etudions f 1 = f | F . Le polynôme
X
2
− X + 1 n’a pas de racine réelle et est annulateur de f 1 , donc f 1 n’a pas de
valeur propre réelle, et F est de dimension paire. Posons h =
2
√
3
( f 1 −
1
2
Id E ).
On vérifie facilement que h
2 = − Id E et que h commute avec son adjoint. Soit e
un vecteur unitaire de F et P = Vect(e, h(e)). Comme h n’a pas de valeur propre
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
sous-groupe fini de SO 2 (R), sous-groupe des rotations, c’est-à-dire à un sousgroupe multiplicatif G
de U = {z ∈ C | |z| = 1}. Soit k le cardinal de G.
Par le théorème de Lagrange, on a ∀z ∈ G
, z
k = 1, donc G
est inclus dans le
sous-groupe U k des racines k
ièmes de l’unité dans C, qui est également de cardinal
k, d’où G
= U k . Comme U k est cyclique, engendré par e
2ip/k , on conclut que G
est cyclique.
9.3.1 Endomorphismes commutant avec leur adjoint
Exercice 9.62
Mines-Ponts MP 2007
1) Question de la rédaction : Soit g ∈ L(E) tel que g ◦ g
∗ = g
∗
◦ g. Montrer
que si F est un sous-espace de E stable par g, alors F
⊥ est également stable
par g.
2) Que dire de f ∈ L(R
7 ) telle que f
3
− f
2 + f = 0 et f
∗
◦ f = f ◦ f
∗ ?
1) Soit M la matrice de g dans une base orthonormale B adaptée à la décomposition de E en F ⊕ F
⊥ . Comme g(F) ⊂ F, M s’écrit sous la forme
A B
0 C
où A représente la matrice de f | F dans la partie de B contenant les vecteurs de F. Comme f commute avec f
∗ , on a
t
M M = M
t
M, c’est-à-dire
t A 0
t B
t
C
A B
0 C
=
A B
0 C
t A O
t B
t
C
. En identifiant les blocs supérieurs
gauches, on obtient
t A A = A
t A + B
t B. Comme la trace de
t A A est égale à celle
de A
t A, on en déduit que tr(B
t
B) = 0, donc la somme des carrés de tous les
coefficients de B est nulle, donc B = 0, ce qui signifie exactement que F
⊥ est
stable par f .
Remarque
Ce lemme est très utile dans l’étude des endomorphismes commutant avec leur
adjoint.
2) On sait que Im f = Im( f ◦ f
∗ ), donc Im f = Im( f
∗
◦ f ) = Ker( f
∗
◦ f )
⊥ car
f
∗
◦ f est autoadjoint, or Ker f = Ker( f
∗
◦ f ), donc Im f = (Ker f )
⊥ .
Par le lemme des noyaux, R
7 = Ker f ⊕ F, avec F = Ker( f
2
− f + Id). Si
x ∈ F, alors x = f (x − f (x)), donc x ∈ Im f . Comme dim F = dim (Im f ) par
théorème du rang, on en déduit que Im f = F. Etudions f 1 = f | F . Le polynôme
X
2
− X + 1 n’a pas de racine réelle et est annulateur de f 1 , donc f 1 n’a pas de
valeur propre réelle, et F est de dimension paire. Posons h =
2
√
3
( f 1 −
1
2
Id E ).
On vérifie facilement que h
2 = − Id E et que h commute avec son adjoint. Soit e
un vecteur unitaire de F et P = Vect(e, h(e)). Comme h n’a pas de valeur propre
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit