Chap. 9. Espaces euclidiens
Comme M est orthogonale, ces deux matrices sont égales à I n . A partir du calcul de
t
M M, on obtient que
t A A +
t
CC = I p et
t AB +
t
C D = 0, et à partir de celui de M
t
M,
on obtient que A
t
C + B
t D = 0 et C
t
C + D
t D = I n− p .
On en déduit que :
A B
C D
t A
t
C
0
t D
=
A
t A
0
C
t A I n− p
et
t A
t
C
0
t D
A B
C D
=
I p
0
t DC D
t D
.
En posant M =
A B
C D
et N =
t A
t
C
0
t D
et en écrivant que det(M N ) = det(N M),
on en déduit que :
det
A
t A
0
C
t A I n− p
= det
I p
0
t DC
t D D
,
d’où det
A
t A
= det
t D D
, c’est-à-dire (det A)
2 = (det D)
2 .
Exercice 9.61
Centrale MP 2005
Soit G un sous-groupe fini de GL(R
n ). On note (. | .) le produit scalaire canonique
de R
n et on pose, pour x et y dans R
n , C(x, y) =
g∈G
(g(x) | g(y)).
1) Vérifier que C est un produit scalaire sur R
n .
2) Vérifier que ∀(x, y) ∈ (R
n )
2 , ∀g ∈ G, C(x, y) = C(g(x), g(y)). En déduire
que G est isomorphe à un sous-groupe de O n (R).
3) Si n = 2 et G ⊂ SL(R
2 ), montrer que G est cyclique.
1) Par linéarité des éléments de G, on constate que C est une forme bilinéaire symétrique sur R
n . On a C(x, x) =
g∈G
g(x)
2
x
2 car Id ∈ G, donc C est définie
positive. Il s’agit ainsi d’un produit scalaire sur R
n .
2) • Soit g ∈ G. Pour tout (x, y) ∈ G, on a C(g(x), g(y)) =
h∈G
((g(h(x)) | g(h(y))).
Comme G est un sous-groupe de GL(R
n ), l’application h → h ◦ g est une
bijection de G sur G, donc on peut faire le changement d’indice h
= h ◦ g
dans la somme, ce qui donne C(g(x), g(y)) =
h ∈G
(h
(x) | h
(y)) = C(x, y).
Cela montre que G est un sous-groupe du groupe orthogonal de R
n relatif au
produit scalaire C, noté donc O C (R
n ).
• Soit B une base orthonormale pour le produit scalaire C. L’application, qui à un
élément de O C (R
n ) associe sa matrice dans la base B, est un isomorphisme de
groupes de O C (R
n ) dans le groupe orthogonal matriciel O n (R). Ceci entraîne
que G est isomorphe à un sous-groupe de O n (R).