• Supposons que l 1 1 l n . Pour t ∈
0,
p
2
, on pose x(t) = e 1 cos t+e n sin t.
Le vecteur x(t) est unitaire et u(x(t)), x(t) = l 1 cos
2 t + l n sin
2 t. On
note w(t) cette expression. La fonction w est continue sur
0,
p
2
et
w(0) = l 1 , w(
p
2
) = l n . Par le théorème des valeurs intermédiaires, on
en déduit l’existence d’un réel t tel que w(t) = 1, c’est-à-dire x(t) ∈ H u .
2) Comme v est symétrique défini positif, il existe d’après l’exercice 9.41 page 271
un endomorphisme s symétrique défini positif tel que v = s
2 . On a alors
s(v
−1 u)s
−1 = s
−1 us
−1 . Or cet endomorphisme est encore symétrique, donc
diagonalisable. Comme les matrices de v
−1 u et de s(v
−1 u)s
−1 dans toute base
sont semblables, on en déduit que v
−1 u est diagonalisable (et a même polynôme
caractéristique que s
−1 us
−1 ).
3) L’astuce consiste à changer de produit scalaire. En conservant les notations du
2), on pose (x | y) = s(x), s(y). On obtient manifestement une forme bilinéaire
symétrique, et (x | x) = s(x), s(x) 0 et (x | x) = 0 ⇐⇒ s(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
donc on obtient un nouveau produit scalaire sur E.
On a également (x | x) = x, s
2 (x) = x, v(x), donc H v est la sphère unité pour
ce nouveau produit scalaire. Posons u
= v
−1 u. On remarque que u
∗ = uv
−1 .
Comparons (u
(x) | y) et (x | u
(y)) pour (x, y) ∈ E
2 :
(u
(x) | y) = su
(x), s(y) = u
(x), s
2 (y) = x, u
∗ (s
2 (y))
= x, uv
−1
v(y) = x, u(y)
(x | u
(y)) = s(x), su
(y) = x, s
2 (u
(y)) = x, u(y) .
Les deux expressions sont égales, donc u
est autoadjoint pour le nouveau produit
scalaire. En appliquant la question 1) avec le nouveau produit scalaire, on sait
qu’il existe un vecteur x tel que (x | x) = 1 et (u
(x) | x) = 1 si et seulement si
min Sp u
1 max Sp u
, autrement dit
H u ∩ H v = ∅ ⇐⇒ min Sp(v
−1 u) 1 max Sp(v
−1 u) .
Exercice 9.60
Mines-Ponts MP 2006 et 2007 Ã
Soit M =
A B
C D
∈ O n (R), où A ∈ M p (R) et B ∈ M n− p (R). Montrer que
(det A)
2 = (det D)
2 .
En effectuant les produits par blocs, on a :
t
M M =
t A A +
t
CC
t AB +
t
C D
t B A +
t DC
t B B +
t D D
et M
t
M =
A
t A + B
t B A
t
C + B
t D
C
t A + D
t B C
t
C + D
t D
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
0,
p
2
, on pose x(t) = e 1 cos t+e n sin t.
Le vecteur x(t) est unitaire et u(x(t)), x(t) = l 1 cos
2 t + l n sin
2 t. On
note w(t) cette expression. La fonction w est continue sur
0,
p
2
et
w(0) = l 1 , w(
p
2
) = l n . Par le théorème des valeurs intermédiaires, on
en déduit l’existence d’un réel t tel que w(t) = 1, c’est-à-dire x(t) ∈ H u .
2) Comme v est symétrique défini positif, il existe d’après l’exercice 9.41 page 271
un endomorphisme s symétrique défini positif tel que v = s
2 . On a alors
s(v
−1 u)s
−1 = s
−1 us
−1 . Or cet endomorphisme est encore symétrique, donc
diagonalisable. Comme les matrices de v
−1 u et de s(v
−1 u)s
−1 dans toute base
sont semblables, on en déduit que v
−1 u est diagonalisable (et a même polynôme
caractéristique que s
−1 us
−1 ).
3) L’astuce consiste à changer de produit scalaire. En conservant les notations du
2), on pose (x | y) = s(x), s(y). On obtient manifestement une forme bilinéaire
symétrique, et (x | x) = s(x), s(x) 0 et (x | x) = 0 ⇐⇒ s(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,
donc on obtient un nouveau produit scalaire sur E.
On a également (x | x) = x, s
2 (x) = x, v(x), donc H v est la sphère unité pour
ce nouveau produit scalaire. Posons u
= v
−1 u. On remarque que u
∗ = uv
−1 .
Comparons (u
(x) | y) et (x | u
(y)) pour (x, y) ∈ E
2 :
(u
(x) | y) = su
(x), s(y) = u
(x), s
2 (y) = x, u
∗ (s
2 (y))
= x, uv
−1
v(y) = x, u(y)
(x | u
(y)) = s(x), su
(y) = x, s
2 (u
(y)) = x, u(y) .
Les deux expressions sont égales, donc u
est autoadjoint pour le nouveau produit
scalaire. En appliquant la question 1) avec le nouveau produit scalaire, on sait
qu’il existe un vecteur x tel que (x | x) = 1 et (u
(x) | x) = 1 si et seulement si
min Sp u
1 max Sp u
, autrement dit
H u ∩ H v = ∅ ⇐⇒ min Sp(v
−1 u) 1 max Sp(v
−1 u) .
Exercice 9.60
Mines-Ponts MP 2006 et 2007 Ã
Soit M =
A B
C D
∈ O n (R), où A ∈ M p (R) et B ∈ M n− p (R). Montrer que
(det A)
2 = (det D)
2 .
En effectuant les produits par blocs, on a :
t
M M =
t A A +
t
CC
t AB +
t
C D
t B A +
t DC
t B B +
t D D
et M
t
M =
A
t A + B
t B A
t
C + B
t D
C
t A + D
t B C
t
C + D
t D
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit