Chap. 9. Espaces euclidiens
2) Par théorème spectral, il existe P ∈ O n (R) et des réels l 1 , . . . , l n strictement
positifs tels que P
−1 AP = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Posons Y k = P
−1 X k P.
L’étude (existence et convergence) de la suite (X k ) se ramène à celle de la suite
(Y k ). On a Y k+1 =
1
2
(Y k + DY
−1
k ). Démontrons par récurrence sur k que Y k existe et
est diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, notés u k (1), . . . , u k (n).
La propriété est vérifiée au rang 0 car Y 0 = I n .
Supposons qu’elle soit vraie au rang k. La matrice Y k est inversible, d’inverse
diag(u k (1)
−1 , . . . , u k (n)
−1 ), donc Y k et DY
−1
k
sont diagonales, d’où Y k+1 également et on a Y k+1 = diag(u k+1 (1), . . . , u k+1 (n)) avec u k+1 (i) =
1
2
u k (i) +
l i
u k (i)
pour tout i ∈ [[1 , n]]. La propriété est donc vérifiée au rang k + 1. Chaque
suite (u k (i)) k∈N vérifie en outre la relation de récurrence étudiée à la question 1),
donc converge vers
l i . On en déduit que la suite (Y k ) converge vers la matrice
D = diag(
l 1 , . . . ,
l n ), donc la suite (X k ) converge vers S = PDP
−1 . La
matrice S est symétrique définie positive et son carré est égal à A, donc il s’agit
de l’unique racine carrée de A dans S n (R), mise en évidence dans l’exercice 9.41
page 271.
Exercice 9.59
Centrale MP 2005 Ã
Soit u un endomorphisme symétrique de E, et H u = {x ∈ E | |u(x), x = 1}.
1) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur le spectre de u pour qu’il
existe x ∈ H u de norme 1.
2) Soit v ∈ L(E) symétrique défini positif. Montrer que v
−1
◦ u est diagonalisable.
3) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur le spectre de v
−1
◦ u pour
que H u ∩ H v = ∅.
Pour alléger les notations, on note f g la composée de deux endomorphismes quelconques f et g.
1) Soient l 1 . . . l n les valeurs propres de u classées dans l’ordre croissant,
et (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale de vecteurs propres associés à ces valeurs
propres. Soit x =
n
i=1
x i e i un vecteur de E. On sait que u(x), x =
n
i=1
l i x
2
i ,
d’où l 1 x
2
u(x), x l n x
2 .
• S’il existe x de norme 1 tel que u(x), x = 1, alors l 1 1 l n .
2) Par théorème spectral, il existe P ∈ O n (R) et des réels l 1 , . . . , l n strictement
positifs tels que P
−1 AP = D = diag(l 1 , . . . , l n ). Posons Y k = P
−1 X k P.
L’étude (existence et convergence) de la suite (X k ) se ramène à celle de la suite
(Y k ). On a Y k+1 =
1
2
(Y k + DY
−1
k ). Démontrons par récurrence sur k que Y k existe et
est diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, notés u k (1), . . . , u k (n).
La propriété est vérifiée au rang 0 car Y 0 = I n .
Supposons qu’elle soit vraie au rang k. La matrice Y k est inversible, d’inverse
diag(u k (1)
−1 , . . . , u k (n)
−1 ), donc Y k et DY
−1
k
sont diagonales, d’où Y k+1 également et on a Y k+1 = diag(u k+1 (1), . . . , u k+1 (n)) avec u k+1 (i) =
1
2
u k (i) +
l i
u k (i)
pour tout i ∈ [[1 , n]]. La propriété est donc vérifiée au rang k + 1. Chaque
suite (u k (i)) k∈N vérifie en outre la relation de récurrence étudiée à la question 1),
donc converge vers
l i . On en déduit que la suite (Y k ) converge vers la matrice
D = diag(
l 1 , . . . ,
l n ), donc la suite (X k ) converge vers S = PDP
−1 . La
matrice S est symétrique définie positive et son carré est égal à A, donc il s’agit
de l’unique racine carrée de A dans S n (R), mise en évidence dans l’exercice 9.41
page 271.
Exercice 9.59
Centrale MP 2005 Ã
Soit u un endomorphisme symétrique de E, et H u = {x ∈ E | |u(x), x = 1}.
1) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur le spectre de u pour qu’il
existe x ∈ H u de norme 1.
2) Soit v ∈ L(E) symétrique défini positif. Montrer que v
−1
◦ u est diagonalisable.
3) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur le spectre de v
−1
◦ u pour
que H u ∩ H v = ∅.
Pour alléger les notations, on note f g la composée de deux endomorphismes quelconques f et g.
1) Soient l 1 . . . l n les valeurs propres de u classées dans l’ordre croissant,
et (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale de vecteurs propres associés à ces valeurs
propres. Soit x =
n
i=1
x i e i un vecteur de E. On sait que u(x), x =
n
i=1
l i x
2
i ,
d’où l 1 x
2
u(x), x l n x
2 .
• S’il existe x de norme 1 tel que u(x), x = 1, alors l 1 1 l n .