d’où
t
T
S
2 T
= I n , c’est-à-dire P =
t
T
−1 T
−1 . Posons T =
t
T
−1 . La matrice T
est triangulaire inférieure et P = T
t
T .
3) On utilise la décomposition précédente et on note T = (t i, j ) 1i, jn . Ainsi, on a
p i,i =
i
j=1
t
2
i, j , d’où p i,i t
2
i,i . Or det P = (det T )
2 =
n
i=1
t
2
i,i , d’où det P
n
i=1
p i,i .
4) Soient q la forme quadratique associée à P dans la base canonique B de R
n
et q 1 (resp. q 2 ) la restriction de q au sous-espace engendré par les p premiers vecteurs (resp. les n − p derniers) de B. Comme q est définie positive,
q 1 et q 2 également, donc A ∈ S
++
p et C ∈ S
++
n− p . D’après l’exercice 9.41
page 271, il existe A 1 ∈ S
++
p et C 1 ∈ S
++
n− p telles que A
2
1 = A et C
2
1 = C.
Posons D =
A
−1
1
0
0
C
−1
1
. En effectuant le produit par blocs, on obtient
D P D = Q =
I p
A
−1
1 BC
−1
1
C
−1
1
t B A
−1
1
I n− p
. La matrice Q est encore symétrique
définie positive et ses coefficients diagonaux sont égaux à 1, donc en lui appliquant
la question 3), on obtient det Q 1, d’où det P (det D)
−2 = det A det C.
Exercice 9.58
Centrale MP 2007 Ã
1) Soient (a, b) ∈ (R
∗
+ )
2 et (u k ) la suite définie par :
u 0 = b et ∀k ∈ N, u k+1 =
1
2
u k +
a
u k
.
Étudier la convergence de (u k ).
2) Soit A ∈ S
++
n . On définit la suite (X k ) de matrices en posant X 0 = I n et
∀k ∈ N, X k+1 =
1
2
X k + AX
−1
k
. Justifier l’existence d’une telle suite et
étudier sa convergence.
1) Soit f : ] 0, +∞ [ → ] 0, +∞ [ définie par f (x) =
1
2
x +
a
x
. La fonction
f est dérivable sur ] 0, +∞ [ et f
(x) =
x
2
− a
2x
2
, donc f est décroissante sur
0,
√
a
et croissante sur
√
a, +∞
et on a f (
√
a) =
√
a.
On voit d’une part que ∀x > 0, f (x)
√
a et d’autre part que f (x)−x =
a − x
2
2x
,
donc si x
√
a, alors
√
a f (x) x. On en déduit que pour tout
k 1, u k
√
a et que la suite (u k ) k1 est décroissante et minorée, donc
converge vers
√
a, qui est le seul point fixe de f .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
t
T
S
2 T
= I n , c’est-à-dire P =
t
T
−1 T
−1 . Posons T =
t
T
−1 . La matrice T
est triangulaire inférieure et P = T
t
T .
3) On utilise la décomposition précédente et on note T = (t i, j ) 1i, jn . Ainsi, on a
p i,i =
i
j=1
t
2
i, j , d’où p i,i t
2
i,i . Or det P = (det T )
2 =
n
i=1
t
2
i,i , d’où det P
n
i=1
p i,i .
4) Soient q la forme quadratique associée à P dans la base canonique B de R
n
et q 1 (resp. q 2 ) la restriction de q au sous-espace engendré par les p premiers vecteurs (resp. les n − p derniers) de B. Comme q est définie positive,
q 1 et q 2 également, donc A ∈ S
++
p et C ∈ S
++
n− p . D’après l’exercice 9.41
page 271, il existe A 1 ∈ S
++
p et C 1 ∈ S
++
n− p telles que A
2
1 = A et C
2
1 = C.
Posons D =
A
−1
1
0
0
C
−1
1
. En effectuant le produit par blocs, on obtient
D P D = Q =
I p
A
−1
1 BC
−1
1
C
−1
1
t B A
−1
1
I n− p
. La matrice Q est encore symétrique
définie positive et ses coefficients diagonaux sont égaux à 1, donc en lui appliquant
la question 3), on obtient det Q 1, d’où det P (det D)
−2 = det A det C.
Exercice 9.58
Centrale MP 2007 Ã
1) Soient (a, b) ∈ (R
∗
+ )
2 et (u k ) la suite définie par :
u 0 = b et ∀k ∈ N, u k+1 =
1
2
u k +
a
u k
.
Étudier la convergence de (u k ).
2) Soit A ∈ S
++
n . On définit la suite (X k ) de matrices en posant X 0 = I n et
∀k ∈ N, X k+1 =
1
2
X k + AX
−1
k
. Justifier l’existence d’une telle suite et
étudier sa convergence.
1) Soit f : ] 0, +∞ [ → ] 0, +∞ [ définie par f (x) =
1
2
x +
a
x
. La fonction
f est dérivable sur ] 0, +∞ [ et f
(x) =
x
2
− a
2x
2
, donc f est décroissante sur
0,
√
a
et croissante sur
√
a, +∞
et on a f (
√
a) =
√
a.
On voit d’une part que ∀x > 0, f (x)
√
a et d’autre part que f (x)−x =
a − x
2
2x
,
donc si x
√
a, alors
√
a f (x) x. On en déduit que pour tout
k 1, u k
√
a et que la suite (u k ) k1 est décroissante et minorée, donc
converge vers
√
a, qui est le seul point fixe de f .
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