Chap. 9. Espaces euclidiens
Soit x ∈ R
n et X le vecteur colonne associé. En posant Y = Q
−1 X =
t
(y 1 , . . . , y n ),
on a q(X ) =
t X M X =
t
Y
t
Q M QY =
n−1
k=1
l k y
2
k + 2
n−1
k=1
u k y k y n + m nn y
2
n .
En faisant apparaître le début d’un carré, on obtient :
q(X ) =
n−1
k=1
l k
y k +
u k
l k
y n
2
+
m nn −
n−1
k=1
u
2
k
l k
y
2
n .
Le coefficient devant y
2
n est strictement positif, donc q(x) 0 et si q(x) = 0,
alors y n = 0 et ∀k ∈ [[1 , n − 1]], y k +
u k
l k
y n = 0, donc Y = 0, c’est-à-dire
x = 0. On conclut que q est définie positive, ce qui achève la récurrence.
2) Soit w l’application de S n (R) dans R
n définie par w(M) = (det M k ) 1kn . Etant
donné que det M k est une expression polynômiale par rapport aux coefficients
de M, l’application w est continue sur S n (R). D’après la question précédente,
S
++
n = w
−1 ( ] 0, +∞ [
n ). Or ] 0, +∞ [
n est un ouvert de R
n , et w est continue,
donc S
++
n est un ouvert de S n (R).
Exercice 9.57
Polytechnique MP 2006, Centrale MP 2006 et 2007Ã
Soit P = ( p i, j ) 1i, jn ∈ S
++
n .
1) Justifier que ∀i ∈ [[1 , n]], p i,i > 0.
2) Question de la rédaction : Montrer qu’il existe une matrice T triangulaire
inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle que P = T
t
T .
Cette décomposition classique s’appelle décomposition de Choleski.
3) Montrer que det P
n
i=1
p i,i .
4) Montrer que si P s’écrit
A B
t B C
, avec A ∈ M p (R) et C ∈ M n− p (R), alors
det P det A det C.
1) Pour tout vecteur colonne X non nul, on a
t X P X > 0, donc en prenant X = E i
correspondant au i
ème vecteur de la base canonique, on a p i,i =
t
E i P E i > 0.
2) D’après l’exercice 9.41 page 271, il existe S ∈ S
++
n telle que P = S
2 . Comme S
est inversible, c’est la matrice de passage de la base canonique B à une base B
. En
appliquant le procédé d’orthonormalisation de Schmidt à B
, on peut construire
une base orthonormale B
telle que la matrice de passage de B
à B
, notée T
, soit
triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. Notons U la
matrice de passage de B à B
. Comme ces bases sont orthonormales, U ∈ O n (R),
donc
t
UU = I n . Par la formule de changement de bases, on a U = ST
,
Soit x ∈ R
n et X le vecteur colonne associé. En posant Y = Q
−1 X =
t
(y 1 , . . . , y n ),
on a q(X ) =
t X M X =
t
Y
t
Q M QY =
n−1
k=1
l k y
2
k + 2
n−1
k=1
u k y k y n + m nn y
2
n .
En faisant apparaître le début d’un carré, on obtient :
q(X ) =
n−1
k=1
l k
y k +
u k
l k
y n
2
+
m nn −
n−1
k=1
u
2
k
l k
y
2
n .
Le coefficient devant y
2
n est strictement positif, donc q(x) 0 et si q(x) = 0,
alors y n = 0 et ∀k ∈ [[1 , n − 1]], y k +
u k
l k
y n = 0, donc Y = 0, c’est-à-dire
x = 0. On conclut que q est définie positive, ce qui achève la récurrence.
2) Soit w l’application de S n (R) dans R
n définie par w(M) = (det M k ) 1kn . Etant
donné que det M k est une expression polynômiale par rapport aux coefficients
de M, l’application w est continue sur S n (R). D’après la question précédente,
S
++
n = w
−1 ( ] 0, +∞ [
n ). Or ] 0, +∞ [
n est un ouvert de R
n , et w est continue,
donc S
++
n est un ouvert de S n (R).
Exercice 9.57
Polytechnique MP 2006, Centrale MP 2006 et 2007Ã
Soit P = ( p i, j ) 1i, jn ∈ S
++
n .
1) Justifier que ∀i ∈ [[1 , n]], p i,i > 0.
2) Question de la rédaction : Montrer qu’il existe une matrice T triangulaire
inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle que P = T
t
T .
Cette décomposition classique s’appelle décomposition de Choleski.
3) Montrer que det P
n
i=1
p i,i .
4) Montrer que si P s’écrit
A B
t B C
, avec A ∈ M p (R) et C ∈ M n− p (R), alors
det P det A det C.
1) Pour tout vecteur colonne X non nul, on a
t X P X > 0, donc en prenant X = E i
correspondant au i
ème vecteur de la base canonique, on a p i,i =
t
E i P E i > 0.
2) D’après l’exercice 9.41 page 271, il existe S ∈ S
++
n telle que P = S
2 . Comme S
est inversible, c’est la matrice de passage de la base canonique B à une base B
. En
appliquant le procédé d’orthonormalisation de Schmidt à B
, on peut construire
une base orthonormale B
telle que la matrice de passage de B
à B
, notée T
, soit
triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. Notons U la
matrice de passage de B à B
. Comme ces bases sont orthonormales, U ∈ O n (R),
donc
t
UU = I n . Par la formule de changement de bases, on a U = ST
,