Exercice 9.56
Centrale MP 2005, Polytechnique MP 2006,
théorème de Jacobi-Sylvester Ã
1) Soit M = (m i, j ) 1i, jn ∈ S n (R). Montrer que M est définie positive si et
seulement si ∀k ∈ [[1 , n]], det M k > 0, où M k = (m i, j ) 1i, jk .
2) Question de la rédaction : En déduire que S
++
n est un ouvert de S n (R).
1) On note B = (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de R
n , q la forme quadratique représentée par M dans B et pour k ∈ [[1 , n]], E k le sous-espace engendré par la famille
libre B k = (e 1 , . . . , e k ).
• Supposons M définie positive. Soit q k la restriction de q à E k . Il s’agit d’une
forme quadratique sur E k , dont la matrice dans la base (e 1 , . . . , e k ) est égale à
M k . Comme q est définie positive, q k l’est également, donc det M k > 0.
• Supposons que ∀k ∈ [[1 , n]], det M k > 0. Montrons que M est définie positive
par récurrence sur n.
Si n = 1, M = (a) avec a = det M > 0, donc M est définie positive.
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre n − 1. La matrice M n−1 vérifiant
l’hypothèse de récurrence, elle est définie positive. En appliquant le théorème
spectral, il existe une base orthonormale B
n−1 = (´ 1 , . . . , ´ n−1 ) de E n−1 et des
réels strictement positifs l 1 , . . . , l n−1 tels que, en notant P la matrice de passage de B n−1 à B
n−1 , on a P ∈O n−1 (R) et P
−1 M n−1 P = D = diag(l 1 , . . . , l n−1 ).
Définissons la matrice Q d’ordre n par Q =
P 0
0 1
. On constate que
Q ∈ O n (R) et en effectuant un produit par blocs, on obtient :
Q
−1 M Q =
P
−1 0
0
1
M n−1 C
t
C
m nn
P 0
0 1
=
P
−1 M n−1 P P
−1 C
C
t P
m nn
=
D V
t
V m nn
où V =
t
(u 1 , . . . , u n−1 ) est le vecteur colonne P
−1 C. Calculons le déterminant de cette matrice en faisant apparaître des zéros sur la dernière colonne par
l’opération élémentaire C n ← C n −
n−1
k=1
u k
l k
C k . Le dernier coefficient devient
égal à m = m nn −
n−1
k=1
u
2
k
l k
. La matrice obtenue est triangulaire inférieure, d’où
det M =
D V
t
V m nn
= m
n−1
i=1
l i . Or det M > 0, donc m > 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Centrale MP 2005, Polytechnique MP 2006,
théorème de Jacobi-Sylvester Ã
1) Soit M = (m i, j ) 1i, jn ∈ S n (R). Montrer que M est définie positive si et
seulement si ∀k ∈ [[1 , n]], det M k > 0, où M k = (m i, j ) 1i, jk .
2) Question de la rédaction : En déduire que S
++
n est un ouvert de S n (R).
1) On note B = (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de R
n , q la forme quadratique représentée par M dans B et pour k ∈ [[1 , n]], E k le sous-espace engendré par la famille
libre B k = (e 1 , . . . , e k ).
• Supposons M définie positive. Soit q k la restriction de q à E k . Il s’agit d’une
forme quadratique sur E k , dont la matrice dans la base (e 1 , . . . , e k ) est égale à
M k . Comme q est définie positive, q k l’est également, donc det M k > 0.
• Supposons que ∀k ∈ [[1 , n]], det M k > 0. Montrons que M est définie positive
par récurrence sur n.
Si n = 1, M = (a) avec a = det M > 0, donc M est définie positive.
Supposons la propriété vraie jusqu’à l’ordre n − 1. La matrice M n−1 vérifiant
l’hypothèse de récurrence, elle est définie positive. En appliquant le théorème
spectral, il existe une base orthonormale B
n−1 = (´ 1 , . . . , ´ n−1 ) de E n−1 et des
réels strictement positifs l 1 , . . . , l n−1 tels que, en notant P la matrice de passage de B n−1 à B
n−1 , on a P ∈O n−1 (R) et P
−1 M n−1 P = D = diag(l 1 , . . . , l n−1 ).
Définissons la matrice Q d’ordre n par Q =
P 0
0 1
. On constate que
Q ∈ O n (R) et en effectuant un produit par blocs, on obtient :
Q
−1 M Q =
P
−1 0
0
1
M n−1 C
t
C
m nn
P 0
0 1
=
P
−1 M n−1 P P
−1 C
C
t P
m nn
=
D V
t
V m nn
où V =
t
(u 1 , . . . , u n−1 ) est le vecteur colonne P
−1 C. Calculons le déterminant de cette matrice en faisant apparaître des zéros sur la dernière colonne par
l’opération élémentaire C n ← C n −
n−1
k=1
u k
l k
C k . Le dernier coefficient devient
égal à m = m nn −
n−1
k=1
u
2
k
l k
. La matrice obtenue est triangulaire inférieure, d’où
det M =
D V
t
V m nn
= m
n−1
i=1
l i . Or det M > 0, donc m > 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit