Chap. 9. Espaces euclidiens
Il suffit à présent de poser e k =
2
3
e
k pour k ∈ [[1 , 3]] pour obtenir que ∀v ∈ E,
3
k=1
e k , v
2 = v
2 . La famille (e 1 , e 2 , e 3 ) est liée dans E, donc a fortiori n’est pas
orthogonale.
Exercice 9.55
Polytechnique MP 2006, Centrale et Mines-Ponts MP 2007
Soient p et q des projecteurs orthogonaux de E.
1) Montrer que p ◦ q ◦ p est diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.
2) Montrer que (Im p + Ker q)
⊥ = Ker p ∩ Im q.
3) En déduire que p ◦ q est diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.
1) On a ( p ◦ q ◦ p)
∗ = p
∗
◦ q
∗
◦ p
∗ = p ◦ q ◦ p, donc l’endomorphisme p ◦ q ◦ p est
autoadjoint et par conséquent diagonalisable. Soit l une valeur propre de p ◦q ◦ p,
et x un vecteur propre associé. On a lx
2 = p(q( p(x))), x = q( p(x)), p(x).
Comme q est un projecteur orthogonal, on a pour tout y, q(y), y = q(y)
2 et
q(y) y. En appliquant cela, on en déduit que lx
2 = q( p(x))
2
0 et
lx
2
p(x)
2
x
2 , d’où l ∈ [ 0, 1 ] .
2) D’après le cours, (Im p + Ker q)
⊥ = (Im p)
⊥
∩ (Ker q)
⊥ = Ker p ∩ Im q.
3) • Si x ∈ Ker p ∩ Im q, alors q(x) = x et p(x) = 0 donc ( p ◦ q)(x) = 0.
• Etudions maintenant la restriction de p ◦ q à Im p + Ker q.
◦ Si x ∈ Ker q, alors ( p ◦ q)(x) = 0.
◦ Im p est stable par p ◦ q et par p ◦ q ◦ p. Comme p ◦ q ◦ p est diagonalisable,
sa restriction à Im p l’est également donc il existe une base B = (e 1 , . . . , e r )
de Im p et des réels l 1 , . . . , l r tels que ( p ◦ q ◦ p)(e i ) = l i e i pour tout i
allant de 1 à r . Or p(e i ) = e i car e i ∈ Im p, d’où ( p ◦ q)(e i ) = l i e i . On
complète B avec des vecteurs (e r+1 , . . . , e s ) de Ker q pour former une base
de Im p + Ker q, et comme ( p ◦ q)(e i ) = 0 pour tout i ∈ [[r + 1 , s]], on
dispose d’une base de Im p + Ker q formée de vecteurs propres de p ◦ q.
• Faisons le bilan. D’après le premier point, la restriction de p◦q à (Im p+Ker q)
⊥
est nulle. D’autre part, il existe une base de Im p + Ker q de vecteurs propres
de p ◦ q (avec les mêmes valeurs propres que p ◦ q ◦ p). En conclusion, p ◦ q
est diagonalisable et ses valeurs propres sont celles de p ◦ q ◦ p, donc sont
comprises entre 0 et 1.
Il suffit à présent de poser e k =
2
3
e
k pour k ∈ [[1 , 3]] pour obtenir que ∀v ∈ E,
3
k=1
e k , v
2 = v
2 . La famille (e 1 , e 2 , e 3 ) est liée dans E, donc a fortiori n’est pas
orthogonale.
Exercice 9.55
Polytechnique MP 2006, Centrale et Mines-Ponts MP 2007
Soient p et q des projecteurs orthogonaux de E.
1) Montrer que p ◦ q ◦ p est diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.
2) Montrer que (Im p + Ker q)
⊥ = Ker p ∩ Im q.
3) En déduire que p ◦ q est diagonalisable et que ses valeurs propres sont comprises entre 0 et 1.
1) On a ( p ◦ q ◦ p)
∗ = p
∗
◦ q
∗
◦ p
∗ = p ◦ q ◦ p, donc l’endomorphisme p ◦ q ◦ p est
autoadjoint et par conséquent diagonalisable. Soit l une valeur propre de p ◦q ◦ p,
et x un vecteur propre associé. On a lx
2 = p(q( p(x))), x = q( p(x)), p(x).
Comme q est un projecteur orthogonal, on a pour tout y, q(y), y = q(y)
2 et
q(y) y. En appliquant cela, on en déduit que lx
2 = q( p(x))
2
0 et
lx
2
p(x)
2
x
2 , d’où l ∈ [ 0, 1 ] .
2) D’après le cours, (Im p + Ker q)
⊥ = (Im p)
⊥
∩ (Ker q)
⊥ = Ker p ∩ Im q.
3) • Si x ∈ Ker p ∩ Im q, alors q(x) = x et p(x) = 0 donc ( p ◦ q)(x) = 0.
• Etudions maintenant la restriction de p ◦ q à Im p + Ker q.
◦ Si x ∈ Ker q, alors ( p ◦ q)(x) = 0.
◦ Im p est stable par p ◦ q et par p ◦ q ◦ p. Comme p ◦ q ◦ p est diagonalisable,
sa restriction à Im p l’est également donc il existe une base B = (e 1 , . . . , e r )
de Im p et des réels l 1 , . . . , l r tels que ( p ◦ q ◦ p)(e i ) = l i e i pour tout i
allant de 1 à r . Or p(e i ) = e i car e i ∈ Im p, d’où ( p ◦ q)(e i ) = l i e i . On
complète B avec des vecteurs (e r+1 , . . . , e s ) de Ker q pour former une base
de Im p + Ker q, et comme ( p ◦ q)(e i ) = 0 pour tout i ∈ [[r + 1 , s]], on
dispose d’une base de Im p + Ker q formée de vecteurs propres de p ◦ q.
• Faisons le bilan. D’après le premier point, la restriction de p◦q à (Im p+Ker q)
⊥
est nulle. D’autre part, il existe une base de Im p + Ker q de vecteurs propres
de p ◦ q (avec les mêmes valeurs propres que p ◦ q ◦ p). En conclusion, p ◦ q
est diagonalisable et ses valeurs propres sont celles de p ◦ q ◦ p, donc sont
comprises entre 0 et 1.