Exercice 9.54
Mines-Ponts MP 2005
Soient E un espace préhilbertien réel et (e i ) 1in une famille de vecteurs non
nuls de E telle que : ∀x ∈ E,
n
k=1
e k , x
2 = x
2 .
1) Montrer que la famille (e i ) 1in est génératrice, puis que :
∀x ∈ E,
n
k=1
e k , xe k = x .
2) On suppose E euclidien de dimension n. Montrer que (e i ) 1in est une base
orthonormale de E.
3) Montrer que la conclusion précédente est fausse si E n’est pas de dimension n.
1) • On pose F = Vect(e 1 , . . . , e n ). Comme F est un sous-espace de dimension
finie de E, on a E = F ⊕ F
⊥ . Si x ∈ F
⊥ , alors ∀k ∈ [[1 , n]], e k , x = 0,
donc x
2 = 0, d’où x = 0. On en déduit que F = E, donc E est de dimension
finie, et la famille (e 1 , . . . , e n ) engendre E.
• On note u l’endomorphisme de E défini par u(x) = x −
n
k=1
e k , xe k . On
remarque que ∀(x, y) ∈ E
2 , u(x), y = x, y−
n
k=1
e k , xe k , y = x, u(y),
donc u est autoadjoint. Par ailleurs, u(x), x = x
2
−
n
k=1
e k , x
2 = 0, ce qui
entraîne par l’exercice 9.2 page 249 que u
∗ = −u. Il en résulte que u = 0, ce
qu’il fallait démontrer.
2) Comme la famille (e 1 , . . . , e n ) est génératrice et que E est de dimension n,
c’est une base de E. Soit j ∈ [[1 , n]]. En remplaçant x par e j dans l’égalité
trouvée au 1), on obtient par unicité de la décomposition dans une base que
∀k = j, e k , e j = 0 et e j , e j = 1, donc (e 1 , . . . , e n ) est une base orthonormale
de E.
3) Soit E = R
2 muni de sa base canonique (i, j) et de son produit scalaire canonique.
On pose e
1 = i, e
2 = −
1
2
i +
√
3
2
j et e
3 = −
1
2
i −
√
3
2
j.
Soit v = xi + y j ∈ E. On a :
e
1 , v
2 + e
2 , v
2 + e
3 , v
2 = x
2 +
−
x
2
+ y
√
3
2
2
+
−
x
2
− y
√
3
2
2
=
3
2
(x
2 + y
2 ) =
3
2
v
2 .
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