Chap. 9. Espaces euclidiens
Soient (b i ) 1ir des réels tels que
r
i=1
b i y i = 0. On a :
0 =
r
i=1
b i y i |
r
i=1
b i y i
=
i, j
b i b j (y i | y j ) =
i, j
b i b j (x i | x j )
=
r
i=1
b i x i |
r
i=1
b i x i
d’où
r
i=1
b i x i = 0, or la famille (x i ) 1ir est libre, donc tous les b i sont nuls.
◦ Pour tout k > r , en développant (x k −
r
i=1
a ik x i | x k −
r
i=1
a ik x i ), on obtient
que 0 = x k −
r
i=1
a ik x i
2 = y k −
r
i=1
a ik y i
2 , d’où y k =
r
i=1
a ik y i . On en
déduit que G est de dimension r et que (y 1 , . . . , y r ) est une base de G (et que
les familles (x i ) et (y i ) vérifient les mêmes relations de liaison).
◦ On définit une unique application linéaire h 1 de F dans G par :
∀i ∈ [[1 , r ]], h 1 (x i ) = y i ,
qui est bijective car elle transforme une base de F en une base de G. Soit x ∈ F,
il existe des réels a 1 , . . . , a r tels que x =
r
i=1
a i x i . On a alors :
h 1 (x)
2 = (
r
i=1
a i y i |
r
i=1
a i y i ) =
1i, jr
a i a j (y i | y j ) =
1i, jr
a i a j (x i | x j )
= (
r
i=1
a i x i |
r
i=1
a i x i ) = x
2 .
◦ Soient (x
i ) 1in−r une base orthonormale de F
⊥ et (y
i ) 1in−r une base orthonormale de G
⊥ . Soit h 2 l’unique application linéaire de F
⊥ dans G
⊥ définie par
∀i ∈ [[1 , n − r ]], h 2 (x
i ) = y
i . On a ∀x ∈ F
⊥ , h 2 (x) = x car l’image d’une
base orthonormale est orthonormale.
◦ On définit enfin h comme l’unique endomorphisme de E tel que h| F = h 1 et
h| F ⊥ = h 2 . Soit x ∈ E. Il existe (y, z) ∈ F × F
⊥ tel que x = y + z. On a
h(x) = h 1 (y) + h 2 (z). Or h 1 (y) ∈ G et h 2 (z) ∈ G
⊥ , donc
h(x)
2 = h 1 (y)
2 + h 2 (z)
2 = y
2 + z
2 = x
2 ,
donc h appartient à O(E).
On a en outre pour tout i ∈ [[1 , p]], h(x i ) = h 1 (x i ) = y i .
Soient (b i ) 1ir des réels tels que
r
i=1
b i y i = 0. On a :
0 =
r
i=1
b i y i |
r
i=1
b i y i
=
i, j
b i b j (y i | y j ) =
i, j
b i b j (x i | x j )
=
r
i=1
b i x i |
r
i=1
b i x i
d’où
r
i=1
b i x i = 0, or la famille (x i ) 1ir est libre, donc tous les b i sont nuls.
◦ Pour tout k > r , en développant (x k −
r
i=1
a ik x i | x k −
r
i=1
a ik x i ), on obtient
que 0 = x k −
r
i=1
a ik x i
2 = y k −
r
i=1
a ik y i
2 , d’où y k =
r
i=1
a ik y i . On en
déduit que G est de dimension r et que (y 1 , . . . , y r ) est une base de G (et que
les familles (x i ) et (y i ) vérifient les mêmes relations de liaison).
◦ On définit une unique application linéaire h 1 de F dans G par :
∀i ∈ [[1 , r ]], h 1 (x i ) = y i ,
qui est bijective car elle transforme une base de F en une base de G. Soit x ∈ F,
il existe des réels a 1 , . . . , a r tels que x =
r
i=1
a i x i . On a alors :
h 1 (x)
2 = (
r
i=1
a i y i |
r
i=1
a i y i ) =
1i, jr
a i a j (y i | y j ) =
1i, jr
a i a j (x i | x j )
= (
r
i=1
a i x i |
r
i=1
a i x i ) = x
2 .
◦ Soient (x
i ) 1in−r une base orthonormale de F
⊥ et (y
i ) 1in−r une base orthonormale de G
⊥ . Soit h 2 l’unique application linéaire de F
⊥ dans G
⊥ définie par
∀i ∈ [[1 , n − r ]], h 2 (x
i ) = y
i . On a ∀x ∈ F
⊥ , h 2 (x) = x car l’image d’une
base orthonormale est orthonormale.
◦ On définit enfin h comme l’unique endomorphisme de E tel que h| F = h 1 et
h| F ⊥ = h 2 . Soit x ∈ E. Il existe (y, z) ∈ F × F
⊥ tel que x = y + z. On a
h(x) = h 1 (y) + h 2 (z). Or h 1 (y) ∈ G et h 2 (z) ∈ G
⊥ , donc
h(x)
2 = h 1 (y)
2 + h 2 (z)
2 = y
2 + z
2 = x
2 ,
donc h appartient à O(E).
On a en outre pour tout i ∈ [[1 , p]], h(x i ) = h 1 (x i ) = y i .