On adopte la même méthode que dans les exercices précédents. Il existe P inversible et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P. En notant l 1 , . . . , l n
les coefficients diagonaux de D, on a det A = (det P)
2 , det B = (det P)
2
n
i=1
l i
et det(A + B) = (det P)
2
n
i=1
(1 + l i ). Comme B est définie positive, les l i sont strictement positifs donc en développant le produit, on obtient immédiatement l’inégalité
n
i=1
(1 + l i ) 1 +
n
i=1
l i , d’où det( A + B) det A + det B. Pour la seconde inégalité, on introduit la fonction f définie par f (x) = ln(1 + e
x ). La fonction f est de
classe C
2 sur R et f
(x) =
e
x
(1 + e
x )
2
0, donc f est convexe. Par conséquent,
f
1
n
n
i=1
ln l i
1
n
n
i=1
f (ln l i ), d’où ln
⎛
⎝ 1 +
n
i=1
l i
1/n
⎞
⎠
1
n
n
i=1
ln(1 + l i ).
En prenant l’exponentielle, on en déduit 1 + (det D)
1
n (det(I n + D))
1
n puis en multipliant par
det
t P P
1
n , on obtient (det A)
1
n + (det B)
1
n (det(A + B))
1
n .
9.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 9.53
Mines-Ponts MP 2007 Ã
Soient (x 1 , . . . , x p ) et (y 1 , . . . , y p ) deux familles de vecteurs de E. Démontrer
l’équivalence :
∀(i, j) ∈ [[1 , p]]
2 , (x i | x j ) = (y i | y j )
⇐⇒ ∃h ∈ O(E), ∀i ∈ [[1 , p]], h(x i ) = y i .
• S’il existe h ∈ O(E) tel que h(x i ) = y i pour tout i , alors on a :
(y i | y j ) = (h(x i ) | h(x j )) = (x i | x j ) pour tout couple (i, j).
• Supposons que ∀(i , j) ∈ [[1 , p]]
2 , (x i | x j ) = (y i | y j ).
Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (x 1 , . . . , x p ), r la dimension de F, et G le sous-espace engendré par (y 1 , . . . , y p ). Quitte à permuter les
vecteurs, on peut supposer que (x 1 , . . . , x r ) est une base de F.
◦ Pour k ∈ [[r + 1 , p]], il existe des réels (a ik ) 1ir tels que x k =
r
i=1
a ik x i .
Montrons que la famille (y 1 , . . . , y r ) est libre :
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