Exercice 9.50
Centrale MP 2007
Soient A ∈ S n (R) et B ∈ S
++
n . Montrer que le polynôme det(A − X B) est scindé.
Il s’agit encore d’une application de la réduction simultanée de deux matrices symétriques dont l’une est définie positive. Il existe P ∈ GL n (R) et D = diag(l 1 , . . . , l n )
telles que A =
t P D P et B =
t P P, ce qui donne :
det(A − X B) = (det P)
2 det(D − X I n ) = (det P)
2
n
k=1
(l k − X ) .
Exercice 9.51
Centrale MP 2007
Soient A et B appartenant à S n (R), q A et q B les formes quadratiques sur R
n canoniquement associées (c’est-à-dire q A (X ) =
t X A X). On suppose 0 q A q B .
Montrer que det A det B.
• Si det A = 0, alors det B 0 car B est symétrique positive.
• Supposons à présent A inversible. D’après l’exercice 9.48 page 274, il existe
P inversible et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P. On note
l 1 , . . . , l n les coefficients diagonaux de D. Soit Y =
t
(y 1 , . . . , y n ) un vecteur
colonne de R
n et X = P
−1 Y . On a q A (X ) =
t X AX =
t
Y Y =
n
i=1
y
2
i et
q B (X ) =
t X B X =
t
Y DY =
n
i=1
l i y
2
i . Par hypothèse, on a
n
i=1
l i y
2
i
n
i=1
y
2
i pour
tout Y , donc en prenant pour Y les vecteurs de la base canonique de R
n , on en
déduit l i 1 pour tout i. Or det A = (det P)
2 et det B = (det P)
2
n
i=1
l i , d’où
det A det B.
Exercice 9.52
Mines-Ponts, Centrale MP 2005
Soient A et B dans M n (R) symétriques définies positives. Montrer que :
• det(A + B) det A + det B.
• (det( A + B))
1/n
(det A)
1/n + (det B)
1/n .