de B
à B. Comme B
est orthonormale pour q 1 , la matrice de q 1 dans B
est égale
à I n . En utilisant les formules de changement de base pour une forme quadratique
(A
=
t
Q AQ voir exercice 8.3 page 225), on en déduit que
t P I n P = A et de même
t P D P = B.
Méthode 2 D’après l’exercice 9.42 page 272, il existe R ∈ GL n (R) telle
que A =
t R R. Posons C =
t R
−1 B R
−1 . La matrice C est symétrique, donc il
existe Q ∈ O n (R) et D diagonale telles que C =
t
Q D Q. On en déduit que
B =
t RC R =
t R
t
Q D Q R =
t P D P avec P = Q R ∈ GL n (R). D’autre part,
t
Q Q = I n donc
t P P =
t R
t
Q Q R =
t R R = A.
Ce qu’il faut retenir
Si A ∈ S
++
n et B ∈ S n (R), alors il existe une matrice P inversible et une matrice
D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P.
Il est utile de savoir démontrer ce résultat.
Exercice 9.49
Mines-Ponts MP 2006
Soient A et B appartenant à S
+
n . Montrer que pour tout t ∈ ] 0, 1 [ , on a :
(det A)
t (det B)
1−t
det(t A + (1 − t)B) .
• Si A n’est pas inversible, on a
t X (t A + (1 − t)B)X = t
t
X AX + (1 − t)
t
X B X 0
pour tout vecteur colonne X car A et B sont positives, donc t A + (1 − t)B ∈ S
+
n ,
d’où det(t A + (1 − t)B) 0.
• Supposons à présent A et B inversibles (A et B jouent des rôles symétriques). D’après l’exercice 9.48 page 274, il existe P inversible et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P. On note l 1 , . . . , l n les coefficients diagonaux de D. Pour tout vecteur colonne X , on a
t X B X 0,
donc
t P X D P X 0, or P est inversible, donc en posant Y = P X, on
obtient
t
Y DY 0 pour tout vecteur colonne Y , donc tous les l i sont positifs. Soit t ∈ ] 0, 1 [ . On a (det A)
t (det B)
1−t = (det P)
2
n
i=1
l i
1−t
et
det(t A + (1 − t)B) = (det P)
2
n
i=1
(t + (1 − t)l i ). La fonction logarithme est
concave, donc ln(t.1 + (1 − t)l i ) t ln 1 + (1 − t) ln l i . En sommant pour i
variant de 1 à n, on obtient
n
i=1
ln(t + (1 − t) ln l i ) (1 − t)
n
i=1
ln l i . En prenant
l’exponentielle qui est croissante, on en déduit finalement le résultat demandé.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
à B. Comme B
est orthonormale pour q 1 , la matrice de q 1 dans B
est égale
à I n . En utilisant les formules de changement de base pour une forme quadratique
(A
=
t
Q AQ voir exercice 8.3 page 225), on en déduit que
t P I n P = A et de même
t P D P = B.
Méthode 2 D’après l’exercice 9.42 page 272, il existe R ∈ GL n (R) telle
que A =
t R R. Posons C =
t R
−1 B R
−1 . La matrice C est symétrique, donc il
existe Q ∈ O n (R) et D diagonale telles que C =
t
Q D Q. On en déduit que
B =
t RC R =
t R
t
Q D Q R =
t P D P avec P = Q R ∈ GL n (R). D’autre part,
t
Q Q = I n donc
t P P =
t R
t
Q Q R =
t R R = A.
Ce qu’il faut retenir
Si A ∈ S
++
n et B ∈ S n (R), alors il existe une matrice P inversible et une matrice
D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P.
Il est utile de savoir démontrer ce résultat.
Exercice 9.49
Mines-Ponts MP 2006
Soient A et B appartenant à S
+
n . Montrer que pour tout t ∈ ] 0, 1 [ , on a :
(det A)
t (det B)
1−t
det(t A + (1 − t)B) .
• Si A n’est pas inversible, on a
t X (t A + (1 − t)B)X = t
t
X AX + (1 − t)
t
X B X 0
pour tout vecteur colonne X car A et B sont positives, donc t A + (1 − t)B ∈ S
+
n ,
d’où det(t A + (1 − t)B) 0.
• Supposons à présent A et B inversibles (A et B jouent des rôles symétriques). D’après l’exercice 9.48 page 274, il existe P inversible et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P. On note l 1 , . . . , l n les coefficients diagonaux de D. Pour tout vecteur colonne X , on a
t X B X 0,
donc
t P X D P X 0, or P est inversible, donc en posant Y = P X, on
obtient
t
Y DY 0 pour tout vecteur colonne Y , donc tous les l i sont positifs. Soit t ∈ ] 0, 1 [ . On a (det A)
t (det B)
1−t = (det P)
2
n
i=1
l i
1−t
et
det(t A + (1 − t)B) = (det P)
2
n
i=1
(t + (1 − t)l i ). La fonction logarithme est
concave, donc ln(t.1 + (1 − t)l i ) t ln 1 + (1 − t) ln l i . En sommant pour i
variant de 1 à n, on obtient
n
i=1
ln(t + (1 − t) ln l i ) (1 − t)
n
i=1
ln l i . En prenant
l’exponentielle qui est croissante, on en déduit finalement le résultat demandé.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit