Chap. 9. Espaces euclidiens
converge vers M. En appliquant la question 1), pour tout entier k, il existe U k
orthogonale et S k symétrique définie positive telles que M k = U k S k . Comme
O n (R) est compact, on peut extraire de la suite (U k ) k∈N une sous-suite (U f(k) ) k∈N
qui converge vers une matrice U ∈ O n (R). Par conséquent, S f(k) = U
−1
f(k) M f(k)
converge vers la matrice S = U
−1 M. Or S
+
n est fermé, donc S ∈ S
+
n , et on a bien
M = U S.
Remarque
On perd dans ce cas l’unicité de la décomposition, car si M = 0, alors S = 0 et
toute matrice orthogonale U vérifie M = U S.
Exercice 9.47
Mines-Ponts MP 2005, Centrale MP 2007
Soient f et g des endomorphismes de E tels que ∀x ∈ E, f (x) = g(x).
Etablir l’existence de h ∈ O(E) tel que g = h ◦ f .
Indication de la rédaction : comparer f
∗ f et g
∗ g puis utiliser la décomposition
polaire.
Par hypothèse, pour tout x ∈ E, on a (x | f
∗ f (x) − g
∗ g(x)) = f (x)
2
−−g(x)
2 = 0.
D’après l’exercice 9.2 page 249, f
∗ f − g
∗ g est antisymétrique. Or il est également
symétrique, donc f
∗ f = g
∗ g.
D’après l’exercice 9.46 page 273, il existe u et u
orthogonaux et s et s
symétriques
positifs tels que f = us et g = u
s
, d’où f
∗ f = s
2 et g
∗ g = s
2 , ce qui entraîne
s
2 = s
2 . Par unicité de la racine carrée d’un endomorphisme autoadjoint positif
(voir exercice 9.41 page 271), on en déduit que s = s
, d’où g = u
u
−1 f , ce qui
permet de conclure car O(E) est un groupe donc u
u
−1
∈ O(E).
9.2.2 Réduction simultanée et applications
Exercice 9.48
Un exercice classique : la réduction simultanée de deux formes quadratiques
Soient A et B appartenant à S n (R). Montrer que si A est définie positive, alors il
existe P ∈ GL n (R) et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P (réduction
simultanée).
Méthode 1 Soient q 1 et q 2 les formes quadratiques de matrices A et B dans la
base canonique B de R
n . Par hypothèse, q 1 est définie positive, donc on peut munir
R
n du produit scalaire associé à q 1 . Par théorème de réduction appliqué à q 2 , il existe
une base B
orthonormale pour q 1 dans laquelle q 2 est décomposée en carrés, c’est-àdire dans laquelle la matrice D de q 2 est diagonale. On note P la matrice de passage
converge vers M. En appliquant la question 1), pour tout entier k, il existe U k
orthogonale et S k symétrique définie positive telles que M k = U k S k . Comme
O n (R) est compact, on peut extraire de la suite (U k ) k∈N une sous-suite (U f(k) ) k∈N
qui converge vers une matrice U ∈ O n (R). Par conséquent, S f(k) = U
−1
f(k) M f(k)
converge vers la matrice S = U
−1 M. Or S
+
n est fermé, donc S ∈ S
+
n , et on a bien
M = U S.
Remarque
On perd dans ce cas l’unicité de la décomposition, car si M = 0, alors S = 0 et
toute matrice orthogonale U vérifie M = U S.
Exercice 9.47
Mines-Ponts MP 2005, Centrale MP 2007
Soient f et g des endomorphismes de E tels que ∀x ∈ E, f (x) = g(x).
Etablir l’existence de h ∈ O(E) tel que g = h ◦ f .
Indication de la rédaction : comparer f
∗ f et g
∗ g puis utiliser la décomposition
polaire.
Par hypothèse, pour tout x ∈ E, on a (x | f
∗ f (x) − g
∗ g(x)) = f (x)
2
−−g(x)
2 = 0.
D’après l’exercice 9.2 page 249, f
∗ f − g
∗ g est antisymétrique. Or il est également
symétrique, donc f
∗ f = g
∗ g.
D’après l’exercice 9.46 page 273, il existe u et u
orthogonaux et s et s
symétriques
positifs tels que f = us et g = u
s
, d’où f
∗ f = s
2 et g
∗ g = s
2 , ce qui entraîne
s
2 = s
2 . Par unicité de la racine carrée d’un endomorphisme autoadjoint positif
(voir exercice 9.41 page 271), on en déduit que s = s
, d’où g = u
u
−1 f , ce qui
permet de conclure car O(E) est un groupe donc u
u
−1
∈ O(E).
9.2.2 Réduction simultanée et applications
Exercice 9.48
Un exercice classique : la réduction simultanée de deux formes quadratiques
Soient A et B appartenant à S n (R). Montrer que si A est définie positive, alors il
existe P ∈ GL n (R) et D diagonale telles que A =
t P P et B =
t P D P (réduction
simultanée).
Méthode 1 Soient q 1 et q 2 les formes quadratiques de matrices A et B dans la
base canonique B de R
n . Par hypothèse, q 1 est définie positive, donc on peut munir
R
n du produit scalaire associé à q 1 . Par théorème de réduction appliqué à q 2 , il existe
une base B
orthonormale pour q 1 dans laquelle q 2 est décomposée en carrés, c’est-àdire dans laquelle la matrice D de q 2 est diagonale. On note P la matrice de passage