Exercice 9.45
CCP MP 2007
Soit A ∈ M n (R) symétrique définie positive. Montrer qu’il existe des vecteurs
v 1 , . . . , v n de R
n tels que A = (v i , v j ) 1i, jn .
En utilisant l’exercice 9.42 page 272, on écrit A sous la forme
t P P. Notons
P = (u i j ) 1i, jn et v 1 , . . . , v n les vecteurs colonnes de P.
On a alors v i , v j =
n
k=1
u ki u k j qui est le terme d’indice (i, j) de la matrice
t P P,
c’est-à-dire de A.
Exercice 9.46
Décomposition polaire (tout concours)
1) Soit M ∈ GL n (R). Montrer qu’il existe un unique couple (U , S) où U est
orthogonale et S symétrique définie positive tel que M = U S.
Indication de la rédaction : appliquer l’exercice 9.41 page 271 à
t
M M.
2) Montrer que O n (R) est un compact et que S
+
n est un fermé de M n (R).
3) Soit M ∈ M n (R). Montrer qu’il existe U ∈ O n (R) et S ∈ S
+
n telles que
M = U S.
1) • Existence La matrice A =
t
M M est symétrique définie positive. D’après
la partie existence de l’exercice 9.41 page 271, il existe S symétrique définie
positive telle que A = S
2 . On pose alors U = M S
−1 de sorte que M = U S et
t
UU =
t
S
−1t
M M S
−1 = S
−1 S
2 S
−1 = I n donc U est orthogonale.
• Unicité Supposons M = U S = U
S
avec U et U
orthogonales, S et S
symétriques définies positives. On a alors
t
M M =
t
S
t
UU S = S
2 et de même
t
M M = S
2 , d’où S
2 = S
2 . On utilise la partie unicité de l’exercice 9.41
page 271 pour obtenir S = S
, ce qui donne en remplaçant U = U
.
2) • Soit f : M n (R) → M n (R) définie par f (M) =
t
M M. L’application f
est continue et O n (R) est l’image réciproque par f du singleton {I n } qui
est fermé, donc O n (R) est fermé dans M n (R). Soit M ∈ O n (R), alors
∀X ∈ R
n , M X = X , donc la norme triple de M est égale à 1, donc O n (R)
est borné dans M n (R). On en déduit que c’est un compact.
• Soit (A k ) k∈N une suite dans S
+
n qui converge vers A. Pour tout entier k et tout
vecteur colonne X de R
n , on a
t A k = A k et
t X A k X 0, donc en faisant tendre
k vers l’infini, on obtient
t A = A et
t X AX 0, d’où A ∈ S
+
n . Il en résulte que
S
+
n est fermé dans M n (R).
3) Soit M ∈ M n (R) non inversible. Comme GL n (R) est dense dans M n (R) (voir
notre livre d’analyse exercice 6.5), il existe une suite (M k ) k∈N dans GL n (R) qui
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
CCP MP 2007
Soit A ∈ M n (R) symétrique définie positive. Montrer qu’il existe des vecteurs
v 1 , . . . , v n de R
n tels que A = (v i , v j ) 1i, jn .
En utilisant l’exercice 9.42 page 272, on écrit A sous la forme
t P P. Notons
P = (u i j ) 1i, jn et v 1 , . . . , v n les vecteurs colonnes de P.
On a alors v i , v j =
n
k=1
u ki u k j qui est le terme d’indice (i, j) de la matrice
t P P,
c’est-à-dire de A.
Exercice 9.46
Décomposition polaire (tout concours)
1) Soit M ∈ GL n (R). Montrer qu’il existe un unique couple (U , S) où U est
orthogonale et S symétrique définie positive tel que M = U S.
Indication de la rédaction : appliquer l’exercice 9.41 page 271 à
t
M M.
2) Montrer que O n (R) est un compact et que S
+
n est un fermé de M n (R).
3) Soit M ∈ M n (R). Montrer qu’il existe U ∈ O n (R) et S ∈ S
+
n telles que
M = U S.
1) • Existence La matrice A =
t
M M est symétrique définie positive. D’après
la partie existence de l’exercice 9.41 page 271, il existe S symétrique définie
positive telle que A = S
2 . On pose alors U = M S
−1 de sorte que M = U S et
t
UU =
t
S
−1t
M M S
−1 = S
−1 S
2 S
−1 = I n donc U est orthogonale.
• Unicité Supposons M = U S = U
S
avec U et U
orthogonales, S et S
symétriques définies positives. On a alors
t
M M =
t
S
t
UU S = S
2 et de même
t
M M = S
2 , d’où S
2 = S
2 . On utilise la partie unicité de l’exercice 9.41
page 271 pour obtenir S = S
, ce qui donne en remplaçant U = U
.
2) • Soit f : M n (R) → M n (R) définie par f (M) =
t
M M. L’application f
est continue et O n (R) est l’image réciproque par f du singleton {I n } qui
est fermé, donc O n (R) est fermé dans M n (R). Soit M ∈ O n (R), alors
∀X ∈ R
n , M X = X , donc la norme triple de M est égale à 1, donc O n (R)
est borné dans M n (R). On en déduit que c’est un compact.
• Soit (A k ) k∈N une suite dans S
+
n qui converge vers A. Pour tout entier k et tout
vecteur colonne X de R
n , on a
t A k = A k et
t X A k X 0, donc en faisant tendre
k vers l’infini, on obtient
t A = A et
t X AX 0, d’où A ∈ S
+
n . Il en résulte que
S
+
n est fermé dans M n (R).
3) Soit M ∈ M n (R) non inversible. Comme GL n (R) est dense dans M n (R) (voir
notre livre d’analyse exercice 6.5), il existe une suite (M k ) k∈N dans GL n (R) qui
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit