Exercice 9.42
Un grand classique
Soit A ∈ M n (R), symétrique définie positive. Montrer qu’il existe P ∈ GL n (R)
telle que A =
t P P.
Il existe Q ∈ O n (R) et D = diag(l 1 , . . . , l n ) telles que A = Q D Q
−1 . Posons
D = diag(
l 1 , . . . ,
l n ) et P = DQ
−1 . On a
t P =
t
Q
−1 D = QD, donc
t P P = QD
2 Q
−1 = A.
Remarque
On peut également retrouver ce résultat en utilisant l’exercice précédent. Si A
représente la matrice de v, alors la matrice P de l’endomorphisme w convient
car elle est symétrique donc
t P P = P
2 = A.
Exercice 9.43
Centrale MP 2007
Soient u un endomorphisme autoadjoint et v un endomorphisme autoadjoint
défini positif de E. Montrer que u ◦ v est diagonalisable.
D’après l’exercice 9.41 page 271, il existe w autoadjoint positif tel que w
2 = v, et w
est inversible car v l’est. On en déduit u ◦ v = u ◦ w
2 = w
−1
◦ (w ◦ u ◦ w) ◦ w. Or
w ◦ u ◦ w est autoadjoint donc diagonalisable, et la matrice de u ◦ v dans une base
est semblable à celle de w ◦ u ◦ w, donc u ◦ v est aussi diagonalisable.
Exercice 9.44
Mines-Ponts MP 2005
Soit A ∈ M n (R). Montrer que A est diagonalisable si et seulement si il existe S
symétrique définie positive telle que
t A = S AS
−1 .
• Supposons A diagonalisable. Il existe P ∈ GL n (R) et D diagonale telles que
A = P D P
−1 . On a alors
t A =
t P
−1 D
t P =
t P
−1 P
−1 AP
t P. Si on note S la
matrice symétrique
t P
−1 P
−1 , on sait que S est définie positive et on a directement
t A = S AS
−1 .
• Supposons qu’il existe S ∈ S
++
n telle que
t A = S AS
−1 , c’est-à-dire S A =
t AS. La
matrice S A est alors symétrique, et S
−1 est alors symétrique définie positive, donc
d’après l’exercice 9.43 page 272, la matrice A = S
−1 S A est diagonalisable.