f (x) = f
2 (x) = 0. Si x ∈ Im f , alors il existe y ∈ E tel que x = f (y). Mais alors
f
2 (x) = f
3 (y) = f
2 (y) = f (x). On en déduit que f
2 et f coïncident sur deux
sous-espaces supplémentaires donc f
2 = f , c’est-à-dire A
2 = A. Il en résulte
que f est un projecteur dont l’image et le noyau sont orthogonaux, ce qui entraîne
d’après l’exercice 9.4 page 250 que f est autoadjoint, c’est-à-dire A symétrique.
9.2.1 Racine carrée d’une matrice symétrique positive et
applications
Exercice 9.41
Racine carrée dans S
+
n (tous concours)
Soit v un endomorphisme autoadjoint positif de E.
1) Montrer qu’il existe un endomorphisme autoadjoint positif w tel que w
2 = v.
2) Soit l un réel positif et h un endomorphisme autoadjoint positif de E. Montrer
que Ker(h − l Id E ) = Ker(h
2
− l
2 Id E ).
3) En déduire que w est unique.
1) Soient (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale de vecteurs propres de v et (l 1 , . . . , l n )
les valeurs propres associées. Comme v est positif, on a ∀i, l i 0. On définit
l’endomorphisme w par w(e i ) =
l i e i pour tout i ∈ [[1 , n]]. Par construction,
w
2 = v car les deux endomorphismes coïncident sur une base, et w est autoadjoint positif car il admet une base orthonormale de vecteurs propres et ses valeurs
propres sont positives.
2) • L’inclusion Ker(h − l Id E ) ⊂ Ker(h
2
− l
2 Id E ) est évidente.
• Posons F = Ker(h
2
−l
2 Id E ). Comme h commute avec h
2
−l
2 Id E , F est stable
par h, et h| F est autoadjoint donc diagonalisable dans une base orthonormale B
de F. Il existe des réels positifs a 1 , . . . , a p tels que la matrice de h| F dans B soit
égale à diag(a 1 , . . . , a p ). Or (h| F )
2 = l
2 Id F , donc ∀i, a
2
i = l
2 , d’où a i = l
car ils sont positifs. Il en résulte que h| F = l Id F , donc que F ⊂ Ker(h−l Id E ).
3) Soit h un endomorphisme autoadjoint positif tel que h
2 = v. Soit l une valeur
propre de v. D’après 2), Ker(h −
√
l Id E ) = Ker(v − l Id E ) = Ker(w −
√
l Id E ).
On en déduit que h et w coïncident sur chaque sous-espace propre de v, or v est
diagonalisable, donc E est la somme directe des sous-espaces propres de v, d’où
h = w, ce qui démontre bien l’unicité de w.
Ce qu’il faut retenir
Si A ∈ S
+
n , alors il existe une matrice S unique dans S
+
n telle que A = S
2 . Il est
indispensable de savoir démontrer ce résultat.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 (x) = 0. Si x ∈ Im f , alors il existe y ∈ E tel que x = f (y). Mais alors
f
2 (x) = f
3 (y) = f
2 (y) = f (x). On en déduit que f
2 et f coïncident sur deux
sous-espaces supplémentaires donc f
2 = f , c’est-à-dire A
2 = A. Il en résulte
que f est un projecteur dont l’image et le noyau sont orthogonaux, ce qui entraîne
d’après l’exercice 9.4 page 250 que f est autoadjoint, c’est-à-dire A symétrique.
9.2.1 Racine carrée d’une matrice symétrique positive et
applications
Exercice 9.41
Racine carrée dans S
+
n (tous concours)
Soit v un endomorphisme autoadjoint positif de E.
1) Montrer qu’il existe un endomorphisme autoadjoint positif w tel que w
2 = v.
2) Soit l un réel positif et h un endomorphisme autoadjoint positif de E. Montrer
que Ker(h − l Id E ) = Ker(h
2
− l
2 Id E ).
3) En déduire que w est unique.
1) Soient (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale de vecteurs propres de v et (l 1 , . . . , l n )
les valeurs propres associées. Comme v est positif, on a ∀i, l i 0. On définit
l’endomorphisme w par w(e i ) =
l i e i pour tout i ∈ [[1 , n]]. Par construction,
w
2 = v car les deux endomorphismes coïncident sur une base, et w est autoadjoint positif car il admet une base orthonormale de vecteurs propres et ses valeurs
propres sont positives.
2) • L’inclusion Ker(h − l Id E ) ⊂ Ker(h
2
− l
2 Id E ) est évidente.
• Posons F = Ker(h
2
−l
2 Id E ). Comme h commute avec h
2
−l
2 Id E , F est stable
par h, et h| F est autoadjoint donc diagonalisable dans une base orthonormale B
de F. Il existe des réels positifs a 1 , . . . , a p tels que la matrice de h| F dans B soit
égale à diag(a 1 , . . . , a p ). Or (h| F )
2 = l
2 Id F , donc ∀i, a
2
i = l
2 , d’où a i = l
car ils sont positifs. Il en résulte que h| F = l Id F , donc que F ⊂ Ker(h−l Id E ).
3) Soit h un endomorphisme autoadjoint positif tel que h
2 = v. Soit l une valeur
propre de v. D’après 2), Ker(h −
√
l Id E ) = Ker(v − l Id E ) = Ker(w −
√
l Id E ).
On en déduit que h et w coïncident sur chaque sous-espace propre de v, or v est
diagonalisable, donc E est la somme directe des sous-espaces propres de v, d’où
h = w, ce qui démontre bien l’unicité de w.
Ce qu’il faut retenir
Si A ∈ S
+
n , alors il existe une matrice S unique dans S
+
n telle que A = S
2 . Il est
indispensable de savoir démontrer ce résultat.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit