Chap. 9. Espaces euclidiens
Si M est une telle matrice, alors
t
M est inversible, d’inverse M
= M
t
M. Or la
matrice M
est symétrique, donc son inverse également, ce qui entraîne que M est
symétrique. On obtient donc la relation M
3 = I n . Or M est diagonalisable donc il
existe P inversible telle que M = P diag(l 1 , . . . , l n )P
−1 . En élevant au cube, on
obtient que ∀i ∈ [[1 , n]], l
3
i = 1, d’où l i = 1, donc M = P I n P
−1 = I n .
Exercice 9.35
Centrale MP 2006
Soient A et B appartenant à S n (R). On pose f (t) = max Sp(A + t B) pour tout
réel t. Montrer que f est convexe.
On munit R
n du produit scalaire canonique. On sait que si M ∈ S n (R), alors la plus
grande valeur propre de M est égale à la borne supérieure de
t X AX lorsque le vecteur
colonne X vérifie X = 1. Comme A et B sont symétriques, A + t B est symétrique
pour tout réel t, donc
t X (A + t B)X f (t) pour tout vecteur unitaire X dans R
n .
Soient (t, t
) ∈ R
2 et l ∈ [ 0, 1 ] . Pour tout vecteur X unitaire, on a :
t X
A + ((1 − l)t + lt
)B
X = (1 − l)
t X (A + t B)X + l
t X (A + t
B)X
(1 − l) f (t) + l f (t
).
En passant à la borne supérieure lorsque X décrit la sphère unité de R
n , on obtient
f ((1 − l)t + lt
) (1 − l) f (t) + l f (t
), donc f est convexe.
Exercice 9.36
Centrale MP 2006, Polytechnique PC 2007
Soient A et B ∈ M n (R), symétriques et positives. Montrer que :
0 tr(AB) tr(A) tr(B) .
Que dire de plus si A et B sont définies positives ?
Il existe P ∈ O n (R) et D diagonale, égale à diag(l 1 , . . . , l n ), telles que D = P B P
−1 .
Posons A
= P AP
−1 = (a
i, j ). On a AB = P
−1 A
D P donc :
tr(AB) = tr(A
D) =
n
j=1
a
j, j l j .
Or A est positive et P est orthogonale, donc A
est positive. Par conséquent,
ses coefficients diagonaux le sont (car si A
est la matrice de f dans la base e
,
on a a
j, j = f (e
j , e
j )) et B est positive donc ses valeurs propres le sont. On
en déduit en développant le produit que 0
n
j=1
a
j, j l j
n
j=1
a
j, j ×
n
j=1
l j .
Si M est une telle matrice, alors
t
M est inversible, d’inverse M
= M
t
M. Or la
matrice M
est symétrique, donc son inverse également, ce qui entraîne que M est
symétrique. On obtient donc la relation M
3 = I n . Or M est diagonalisable donc il
existe P inversible telle que M = P diag(l 1 , . . . , l n )P
−1 . En élevant au cube, on
obtient que ∀i ∈ [[1 , n]], l
3
i = 1, d’où l i = 1, donc M = P I n P
−1 = I n .
Exercice 9.35
Centrale MP 2006
Soient A et B appartenant à S n (R). On pose f (t) = max Sp(A + t B) pour tout
réel t. Montrer que f est convexe.
On munit R
n du produit scalaire canonique. On sait que si M ∈ S n (R), alors la plus
grande valeur propre de M est égale à la borne supérieure de
t X AX lorsque le vecteur
colonne X vérifie X = 1. Comme A et B sont symétriques, A + t B est symétrique
pour tout réel t, donc
t X (A + t B)X f (t) pour tout vecteur unitaire X dans R
n .
Soient (t, t
) ∈ R
2 et l ∈ [ 0, 1 ] . Pour tout vecteur X unitaire, on a :
t X
A + ((1 − l)t + lt
)B
X = (1 − l)
t X (A + t B)X + l
t X (A + t
B)X
(1 − l) f (t) + l f (t
).
En passant à la borne supérieure lorsque X décrit la sphère unité de R
n , on obtient
f ((1 − l)t + lt
) (1 − l) f (t) + l f (t
), donc f est convexe.
Exercice 9.36
Centrale MP 2006, Polytechnique PC 2007
Soient A et B ∈ M n (R), symétriques et positives. Montrer que :
0 tr(AB) tr(A) tr(B) .
Que dire de plus si A et B sont définies positives ?
Il existe P ∈ O n (R) et D diagonale, égale à diag(l 1 , . . . , l n ), telles que D = P B P
−1 .
Posons A
= P AP
−1 = (a
i, j ). On a AB = P
−1 A
D P donc :
tr(AB) = tr(A
D) =
n
j=1
a
j, j l j .
Or A est positive et P est orthogonale, donc A
est positive. Par conséquent,
ses coefficients diagonaux le sont (car si A
est la matrice de f dans la base e
,
on a a
j, j = f (e
j , e
j )) et B est positive donc ses valeurs propres le sont. On
en déduit en développant le produit que 0
n
j=1
a
j, j l j
n
j=1
a
j, j ×
n
j=1
l j .