Or
n
j=1
a
j, j = tr A
= tr A et
n
j=1
l j = tr D = tr B, d’où 0 tr(AB) tr A tr B.
Si A et B sont définies positives, A
aussi donc a
j, j > 0, et l j > 0 pour tout j. Par
conséquent, les deux inégalités sont strictes (pour n 2).
Exercice 9.37
Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2005 et 2006
On pose, pour x ∈ M n,1 (R), q(X ) = det
0
t X
X A
, où A est une matrice symétrique réelle définie positive d’ordre n. Montrer que q est définie négative.
Indication de l’examinateur : on se ramènera au cas où A est diagonale.
Par hypothèse, il existe P ∈ O n (R) telle que P
−1 AP = D = diag(l 1 , . . . , l n )
avec l i > 0 pour tout i ∈ [[1 , n]]. Posons M =
0
t X
X A
et Q =
1 0
0 P
.
La matrice Q appartient à O n+1 (R) et Q
−1 =
1
0
0 P
−1
. En effectuant le produit
par blocs, on en déduit que Q
−1 M Q =
0
t X P
P
−1 X P
−1 AP
=
0
t
Y
Y D
, où Y
est le vecteur colonne P
−1 X . On a donc q(X ) = det
0
t
Y
Y D
. Soient y 1 , . . . , y n
les coefficients de Y . Effectuons sur cette matrice l’opération élémentaire suivante :
C 1 ← C 1 −
n
k=1
y k
l k
C k+1 . La première colonne de cette matrice devient égale à
t
(−
n
k=1
y
2
k
l k
, 0 . . . , 0). La matrice obtenue est triangulaire, donc son déterminant est
le produit des éléments diagonaux, d’où q(X ) = −
n
k=1
y
2
k
l k
×
n
k=1
l k . Si le vecteur X
est non nul, alors Y également (car P est inversible), donc q(X ) < 0. On en déduit
que q est une forme quadratique définie négative.
Exercice 9.38
Centrale MP 2005
1) Soient q une forme quadratique définie positive sur R
n et (u k ) k0 une suite de
vecteurs de R
n telle que q(u k ) −−−→
k→∞
0. Montrer que u k −−−→
k→∞
0.
2) Soient a ∈ R, (x k ) k∈N et (y k ) k∈N deux suites réelles telles que
x
2
k + y
2
k + 2ax k y k −−−→
k→∞
0.
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