Exercice 9.32
Centrale MP 2006, Mines-Ponts MP 2005
Soient (e 1 , . . . , e n ) et ( f 1 , . . . , f n ) deux bases orthonormales de E et u ∈ L(E).
Montrer que la somme
1i, jn
(u(e i ) | f j )
2 ne dépend que de u.
Il existe un unique endomorphisme v de E tel que v(e i ) = f i pour tout i ∈ [[1 , n]].
Comme ces deux bases sont orthonormales, v est orthogonal. Posons
S =
1i, jn
(u(e i ) | f j )
2 .
On a S =
1i, jn
(u(e i ) | v(e j ))
2 =
1i, jn
((v
∗
◦ u)(e i ) | e j )
2 .
Notons M = (m i, j ) 1i, jn la matrice de v
∗
◦ u dans la base (e 1 , . . . , e n ). Pour tout
couple (i, j) ∈ [[1 , n]]
2 , on a m j,i = ((v
∗
◦ u)(e i ) | e j ), donc
S =
1i, jn
m
2
j,i = tr(
t
M M) = tr((v
∗
◦ u)
∗
◦ v
∗
◦ u) = tr(u
∗
◦ v ◦ v
∗
◦ u) = tr(u
∗
◦ u)
car v ◦ v
∗ = Id E . Cela montre que la somme S ne dépend que de u.
Exercice 9.33
Mines-Ponts MP 2005
Soit u ∈ L(E) tel que u
3 = Id E , u = Id E et u ◦ u
∗ = u
∗
◦ u.
1) Montrer que u est orthogonal.
2) Décrire u si dim E = 3.
1) Comme u
3 = Id E , on obtient en prenant l’adjoint (u
∗ )
3 = Id E . L’endomorphisme
u
∗
◦ u est autoadjoint et (u
∗
◦ u)
3 = (u
∗ )
3
◦ u
3 = Id E . En se plaçant dans une
base de vecteurs propres de u
∗
◦ u, on en déduit que pour toute valeur propre l
de u
∗
◦ u, on a l
3 = 1 d’où l = 1, donc u
∗
◦ u = Id E , c’est-à-dire que u est
orthogonal.
2) On a (det u)
3 = det u
3 = 1, d’où det u = 1, donc u est une rotation. Comme
u
3 = Id E , son angle est égal à ±
2p
3
.
Exercice 9.34
Mines-Ponts MP 2005, TPE MP 2007
Déterminer les matrices M ∈ M n (R) telles que
t
M M
t
M = I n .
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